Si la perpendicular trazada sobre el eje mayor de una elipse cae
en el centro de la sección, y si es posible trazar a uno u otro
cuadrante de la sección una recta en la que el eje corta una recta
mínima, esta recta será la mayor de todas las que se pueden
trazar desde el punto dado al mismo cuadrante, y la recta más cercana
de esta recta máxima será mayor que la más alejada.
Sea una elipse ABC cuyo eje principal es la recta AC , y cuyo
centro es el punto D . Supongamos dado, bajo el eje , el punto E desde donde
se traza la perpendicular ED , y que es posible trazar, desde el
punto E al cuadrante CB, otra recta, como EGF , en la que
se corta una recta mínima. Digo que la recta EF es
mayor que cualquier otra recta trazada desde el punto E hasta el cuadrante.
CB, y que la recta más cercana a cada lado de la recta EF
es mayor que la más alejada.
En efecto, ya que BD, FG son dos rectas mínimas que, cuando se prolongan,
se encuentran en el punto E, las rectas que parten de puntos cualesquiera de la sección,
entre los puntos C y F, se encontrarán con el eje
más lejos del vértice C que las rectas que conectan cualquiera de estos puntos
al punto E [Prop. V.46]; mientras que las rectas
mínimas trazadas desde puntos de la sección,
entre los puntos B y F, es
estarán más cercanas del vértice
C que las rectas trazadas desde el punto
dado E a estos mismos puntos de la
sección [Prop. V.46]. Habiendo establecido esto, se
probará, con la ayuda de las tangentes, a
la manera de la demostración de
[Prop. V.72],
que la recta EF es mayor
que cualquier otra recta trazada desde el
punto E a la sección BC, y que la recta más cercana a ella
es mayor que la que más alejada de ella.
Q. E. D.