Si
desde un punto del eje de una parábola, situado a una distancia del vértice mayor que la
mitad del lado recto, se traza una recta mínima que forme con el eje un ángulo,
este será agudo, y el pie de la perpendicular del extremo de la recta determinará
en el eje un segmento igual a la mitad del lado recto.
En efecto, ya que AC es una recta mínima,
BC > 1/2(lado recto) . Pues, si no fuera más grande,
sería igual o menor que la mitad del lado derecho. Si la recta BC fuera
la mitad del lado derecho sería
mínima [Prop. V.4], y, si la recta BC fuera más pequeña
que la mitad del lado derecho, también sería también
minima [Prop. V.7]; de manera que la recta BC sería más
pequeña que la recta CA; lo cual es contrario a
la hipótesis. Por lo tanto, la recta BC no es
más pequeña que la mitad del lado derecho; ella tampoco
es igual; entonces ella es más
grande. Sea pues CD = 1/2(lado recto) ;
digo que la recta
elevada desde el punto D, perpendicular
al eje, pasará por el punto A .
Sea, por el contario, DE la recta perpendicular ,
y CE la menor recta que se puede trazar desde
el punto C a la sección [Prop. V.8]. Pero, esto es absurdo, porque el
la recta AC es menor que esta recta. Por lo tanto, la perpendicular
elevado desde el punto D pasa por el punto A, y la recta DC será la mitad
del lado recto. Además, ∠(ACB) será
agudo , porque ∠(BDA) es recto.
Q. E. D.