Si la sección es una hipérbola o elipse, tal como AB Paso 1, de eje BD Paso 2, y de centro C Paso 3, y si se toma un punto E en el exterior de la sección, no situado en el eje, ni en la prolongación del eje Paso 4, punto desde el que se traza la perpendicular EF al eje BD Paso 5, supongamos primero que esta perpendicular no cae en el centro. Digo que se puede trazar, desde el punto E, una recta cuya parte interceptada entre la curva AB y el eje BD es una recta mínima.

Hagamos que CG/GF=diámetro transverso/lado recto Paso 6, y tracemos la perpendicular GM Paso 7. Asegurémonos también de que la línea EH/HF= diámetro transverso/lado recto Paso 8; tracemos, por el punto H, la recta KL paralela a la recta FD Paso 9, y describamos, por el punto E, una hipérbola de asíntotas MK, KL, que corta por lo tanto a la sección AB [Prop. II.4]Paso 10. Sea EAQ esta hipérbola que corta a la sección AB en el punto A, y tracemos la recta de unión EA, que prolongamos a ambos lados hasta los puntos M, L Paso 11. Sea D el punto de corte de esta recta y el eje Paso 12; digo que la recta AD es mínima.

Tracemos la perpendicular AN Paso 13. Por lo tanto, ME = AL [Prop. II.7], luego, por semejanza de triángulos, KH=OL, de donde HO+KH=HO+OL, o, OK=HL, o, NG=HL. Ya que, FD/HL=FE/EH entonces FD/NG=FE/EH. Ya que CG/GF=diámetro transverso/lado recto y EH/HF=diámetro transverso/lado recto, se tiene que CG/GF=EH/HF, de donde CG/(CG+GF)=EH/(EH+HF), o, CG/FC=EH/EF, luego FD/NG=FC/CG, de donde, según se trate de una hipérbola o una elipse, (FD±FC)/(NG±CG)=FC/CG, o, DC/CN = FC/CG, así CN/DC=CG/FC, de donde CN/(CN-DC)=CG/(CG-FC) en el caso de la elipse, y CN/(DC-CN)=CG/(FC-CG) en el caso de la hipérbola, luego CN/ND=CG/GF, por tanto CN/ND=diámetro transverso/lado recto. Ya que, la recta AN es perpendicular al eje BD; entonces AD es una recta mínima [Prop. V.9, Prop. V.10]. La demostración sería la misma si la perpendicular FE cae al otro lado del vértice B.

Q. E. D.