Si se toma un punto, debajo del eje mayor de una elipse, desde el cual sólo se pueden trazar dos rectas en las que el eje intercepta rectas mínimas, la mayor de las rectas que se puede trazar desde este punto a este lado de la sección será de las dos primeras rectas la que corta al eje menor, y la recta más cercana a cada lado será mayor que la más alejada de ella; mientras que la menor de estas rectas será la que que se traza al vértice más cercano de la sección.

Sea ABC una elipse Paso 1 cuyo eje mayor es la recta AC Paso 2, y sea F el punto dado debajo del eje mayor Paso 3. Tracemos, desde el centro D de la sección Paso 4, la recta BDE perpendicular al eje Paso 5, y supongamos que sólo es posible trazar desde el punto F dos rectas cuyas partes interceptadas entre la sección ABC y el eje son rectas mínimas. Supongamos que estas dos rectas que parten del punto F son FG, FH Paso 6, y, excepto estas dos rectas, no se puede trazar otra recta de modo que la parte interceptada es una recta mínima. Digo que la recta FH, que corta al eje menor es la mayor de todas las rectas trazadas desde el punto F a la sección ABC, y que la recta más cercana, a ambos lados, de la recta FH es mayor que la más alejada; mientras que la recta FA es la menor de las mencionadas rectas.

Tracemos desde el punto F la recta FN perpendicular al eje Paso 7. Es evidente que la recta FN no puede caer en el centro de la sección; pues si cae en el centro de la sección, entonces o bien sería imposible trazar desde el punto F una recta distinta de la FN tal que la parte interceptada por el eje es una recta mínima, o bien sería posible trazar otras dos rectas además de ella, de tal manera que la parte interceptada es una recta mínima [Prop. V.53, Prop. V.54]. Sin embargo, esto es contrario a la hipótesis; por lo tanto, la perpendicular FN caerá entre los puntos A, D, y la recta AN será mayor que la mitad del lado recto, porque, si no fuera mayor que la mitad del lado recto, sería imposible trazar desde el punto F, entre los puntos A y B, una recta cuya parte interceptada es una recta mínima [Prop. V.50]. La recta AN debe ser por lo tanto, como acabamos de decir, mayor que la mitad del lado recto. Hagamos que una recta DK sea tal que DK/KN = diámetro transverso/lado recto, y encontremos dos medias proporcionales a las rectas AD, DK. Además, tracemos una perpendicular, como hicimos en [Prop. V.64], y completemos las otras construcciones hasta que encontremos la recta para usar como comparación con la recta FN [Prop. V.64]. La recta FN también debe ser igual a la recta así encontrada; porque si fuera mayor que esta recta, no podríamos trazar desde el punto F hasta la parte AB de la sección ninguna recta en la que se intercepte una recta mínima. No será menor que esta recta; porque, en este caso, uno podría trazar a la sección AB dos rectas en de cada una de las cuales se intercepta una recta mínima [Prop. V.52], y se podría también trazar una tercera recta desde el punto F hasta la parte BC de la sección [Prop. V.55]. Por consiguiente, la recta FN será igual a la recta encontrada.

Ahora, si sólo podemos trazar desde el punto F a la sección AB una recta en la que se intercepta una recta mínima, las líneas mínimas que emanan de los extremos de las otras rectas trazadas a la sección AB estarán más alejadas del vértice A que las mismas rectas trazadas desde el punto F. Por lo tanto, tracemos desde el punto F, rectas FA, FO, FP Paso 8, y será evidente, en la forma empleada en las demostraciones de [Prop. V.72] y [Prop. V.73], que FA < FO < FP. Digo también que FP < FG. Pues, si no es así, FP > FG o FP = FG. Si FP = FG, tracemos entre estas rectas, otra recta FT Paso 9 que será mayor que la recta FP, ya que está más alejada de la recta AF. Por lo tanto, ya que FP = FG, entonces FT > FG. Tomemos, en la recta FT, una recta FI Paso 10 menor que la recta FT, pero mayor que la recta FG, y describamos, el círculo ILM, de centro el punto F y radio la recta FI, que necesariamente cortará a sección TG. Sea L el punto de corte, y tracemos la recta de unión FL Paso 11, que, al estar más alejada de la recta AF, será mayor que la recta FT. Sin embargo, FL = FI; por lo tanto, FI > FT. Pero, FI < FT, lo que es absurdo. Razonando de la misma manera, se establecerá que la recta FG no es menor que la recta FP, y que, por lo tanto, será mayor que esta recta. Por lo tanto, la recta FG es mayor que cualquier recta que se pueda trazar desde el punto F hasta la porción AG de la sección y la recta más cercana a la recta FG es mayor aue la más alejada de ella; mientras que la recta FA es la menor de estas rectas.

Demostraremos, de la misma manera que lo hicimos para las rectas entre los puntos A y G, que la recta FB es mayor que cualquier recta que tracemos desde el mismo punto F entre los puntos G y B, y que la recta más cercana a la recta FB es mayor que más alejada. Digo también que la recta FG es menor que cualquier recta entre los puntos G, B.

En efecto, tracemos otra recta, tal como FR Paso 12, y, supongamos que esta recta no es mayor que la recta FG, esto es, que sea igual a ella o menor. Que primero sea igual a ella, y tracemos, entre las rectas FG, FR, una recta intermedia FQ Paso 13, que por lo tanto será menor que la recta FR, y por lo tanto menor que la recta FG. Tomemos una recta FS Paso 14 mayor que la recta FQ pero menor que la recta FG, y describamos el círculo SXQ', de centro el punto F y radio la recta FS, que corta a la sección entre los puntos S y G, por ejemplo en el punto X. Entonces, la recta de unión FX Paso 15 será menor que la recta FQ, porque está más alejada que la recta FB. Ya que, FX = FQ', entonces FQ' < FQ. Pero, hemos supuesto que es igual a ella; lo cual es absurdo. Por lo tanto, la recta FR no es igual a la línea FG. Se puede demostrar de la misma manera que la recta FR no es menor la recta FG. Por consiguiente, la recta FB es la la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto F a la parte AB de la sección, mientras que la recta FG es la menor de las rectas que se pueden trazar desde el punto F a la parte AB de la sección y la recta más cercana a ella es mayor que la más alejada.

Por otro lado, ya que ABC es una elipse cuyo eje mayor es la recta AC, el eje menor la recta BDE, y que el punto F está situado en el interior del ángulo ADE, si se traza desde este punto a la parte BC de la sección, otra recta FH, se establecerá de la manera que que usamos en la proposición anterior, que la recta FH es la mayor de todas las rectas que se pueden trazar desde el punto F a la parte BC de la sección, y que la recta más cercana a ella es mayor que la más alejada. Ya que , ha sido demostrado que la línearecta FB es mayor que cualquier recta trazada a la parte AB de la sección, y que la más cercana a ella es mayor que la más alejada de ella; por lo tanto, la recta FH es mayor que cualquier recta trazada desde el punto F hasta la sección ABC, y las más cercanas a ambos lados son mayores que las más alejadas; mientras que la recta FA la menor de todas.

Q. E. D.