Si se toma un punto, debajo del eje mayor de una elipse, desde el cual sólo se pueden trazar dos rectas en las
que el eje intercepta rectas mínimas, la mayor de las rectas
que se puede trazar desde este punto a este lado de la sección será de
las dos primeras rectas la que corta al eje menor, y la recta
más cercana a cada lado será mayor que la más alejada de ella;
mientras que la menor de estas rectas será la que
que se traza al vértice más cercano de la sección.
Sea ABC una elipse cuyo eje mayor es la recta AC , y sea F
el punto dado debajo del eje mayor . Tracemos, desde el centro D de la sección ,
la recta BDE perpendicular al eje , y supongamos que sólo es posible
trazar desde el punto F dos rectas cuyas partes interceptadas entre
la sección ABC y el eje son rectas mínimas. Supongamos que estas
dos rectas que parten del punto F son FG, FH , y, excepto estas
dos rectas, no se puede trazar otra recta de modo que la parte interceptada es una recta mínima.
Digo que la recta FH, que corta al eje menor es la mayor de todas las rectas trazadas desde
el punto F a la sección ABC, y que la recta más cercana, a ambos lados, de la recta FH
es mayor que la más alejada; mientras que la recta FA es la menor de las mencionadas rectas.
Tracemos desde el punto F la recta FN perpendicular al eje . Es evidente que la
recta FN no puede caer en el centro de la sección; pues si cae en el centro de la sección,
entonces o bien sería imposible trazar desde el punto F
una recta distinta de la FN tal que la parte interceptada por el eje es una recta mínima, o bien sería posible trazar
otras dos rectas además de ella, de tal manera que la parte interceptada es una recta
mínima [Prop. V.53, Prop. V.54]. Sin embargo, esto es contrario a la hipótesis; por lo tanto, la perpendicular
FN caerá entre los puntos A, D, y la recta AN será mayor que
la mitad del lado recto, porque, si no fuera mayor que la mitad del lado recto,
sería imposible trazar desde el punto F, entre los puntos A
y B, una recta cuya parte interceptada es una recta mínima [Prop. V.50].
La recta AN debe ser por lo tanto, como acabamos de decir, mayor que
la mitad del lado recto. Hagamos que una recta DK sea tal que
DK/KN = diámetro transverso/lado recto,
y encontremos dos medias proporcionales a las rectas AD, DK.
Además, tracemos una perpendicular, como hicimos en [Prop. V.64], y completemos las otras construcciones
hasta que encontremos la recta para usar como
comparación con la recta FN [Prop. V.64].
La recta FN también debe
ser igual a la recta así encontrada; porque si fuera
mayor que esta recta, no podríamos trazar desde el punto F hasta la
parte AB de la sección ninguna recta en la que se intercepte una
recta mínima. No será menor que esta recta;
porque, en este caso, uno podría trazar a la sección AB dos rectas en
de cada una de las cuales se intercepta una recta mínima [Prop. V.52], y se podría
también trazar una tercera recta desde el punto F hasta la parte BC de la sección [Prop. V.55].
Por consiguiente, la recta FN será igual a la recta encontrada.
Ahora, si sólo podemos trazar desde el punto F a la sección AB
una recta en la que se intercepta una recta mínima, las líneas
mínimas que emanan de los extremos de las otras rectas trazadas a la sección AB estarán
más alejadas del vértice A que las mismas rectas trazadas
desde el punto F. Por lo tanto, tracemos desde el punto F, rectas FA, FO, FP ,
y será evidente, en la forma empleada
en las demostraciones de [Prop. V.72] y [Prop. V.73], que FA < FO < FP.
Digo también que FP < FG. Pues, si no es así, FP > FG o FP = FG.
Si FP = FG, tracemos entre estas rectas, otra recta FT que será mayor que la recta
FP, ya que está más alejada de la recta AF. Por lo tanto, ya que FP = FG,
entonces FT > FG.
Tomemos, en la recta FT, una recta FI menor que la recta FT, pero
mayor que la recta FG, y describamos, el círculo ILM, de centro el punto F y radio la recta FI,
que necesariamente cortará a sección TG.
Sea L el punto de corte, y tracemos la recta de unión FL , que, al estar más alejada de la recta AF,
será mayor que la recta FT. Sin embargo, FL = FI; por lo tanto, FI > FT.
Pero, FI < FT, lo que es absurdo.
Razonando de la misma manera, se establecerá que la recta FG no es menor que la recta FP,
y que, por lo tanto, será mayor que esta recta. Por lo tanto, la recta FG es mayor que
cualquier recta que se pueda trazar desde el punto F hasta la porción AG de la sección
y la recta más cercana a la recta FG es mayor
aue la más alejada de ella; mientras que la recta FA es
la menor de estas rectas.
Demostraremos, de la misma manera que lo hicimos para
las rectas entre los puntos A y G, que la recta FB es mayor
que cualquier recta que tracemos desde el mismo punto F entre los puntos G
y B, y que la recta más cercana a la recta FB es mayor que más alejada.
Digo también que la recta FG es
menor que cualquier recta entre los puntos G, B.
En efecto, tracemos
otra recta, tal como FR , y, supongamos que esta recta no es mayor que la recta FG, esto es,
que sea igual a ella o menor.
Que primero sea igual a ella, y tracemos, entre las rectas
FG, FR, una recta intermedia FQ , que por lo tanto será menor
que la recta FR, y por lo tanto menor que la recta FG. Tomemos una
recta FS mayor que la recta FQ pero menor que la recta FG, y describamos el círculo SXQ',
de centro el punto F y radio la recta FS, que corta a la sección entre los puntos S y G, por
ejemplo en el punto X. Entonces, la recta de unión FX será menor que la recta FQ,
porque está más alejada que la recta FB. Ya que,
FX = FQ', entonces FQ' < FQ.
Pero, hemos supuesto que es igual a ella; lo cual es absurdo. Por lo tanto, la recta FR no es igual a la línea FG.
Se puede demostrar de la misma manera que la recta FR no es menor la recta FG.
Por consiguiente, la recta FB es la
la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto F a la parte
AB de la sección, mientras que la recta FG es la menor de las rectas que se pueden trazar desde el punto F a la parte
AB de la sección y la recta más cercana a ella es mayor que la más alejada.
Por otro lado, ya que ABC es una elipse cuyo eje mayor es la
recta AC, el eje menor la recta BDE, y que el punto F está situado en
el interior del ángulo ADE, si se traza desde este punto a la parte BC
de la sección, otra recta FH, se establecerá de la manera que
que usamos en la proposición anterior, que la recta FH
es la mayor de todas las rectas que se pueden trazar desde el punto F
a la parte BC de la sección, y que la recta más cercana a ella
es mayor que la más alejada.
Ya que , ha sido demostrado que la línearecta FB es mayor que cualquier recta trazada a la
parte AB de la sección, y que la más cercana a ella es
mayor que la más alejada de ella; por lo tanto, la recta FH
es mayor que cualquier recta trazada desde el punto F hasta la sección ABC,
y las más cercanas a ambos lados son
mayores que las más alejadas; mientras que la recta FA la menor de todas.
Q. E. D.