Si se toma, bajo el eje de una parábola o hipérbola, un punto desde el cual se pueden trazar dos rectas de tal manera que la parte interceptada en cada una de ellas, entre la sección y el eje, sea una recta mínima, de estas dos rectas la que está más cerca del vértice de la sección será mayor que todas las rectas que pueden ser trazadas desde el punto seleccionado a la parte de la sección entre el vértice y la otra recta; y entre las otras rectas trazadas a esta parte, la más cercana a cada lado de esa recta máxima será mayor que la más alejada. Por otra parte la otra recta será menor que todas las otras rectas trazadas desde el mismo punto hasta la parte restante de esta sección, es decir, a su complemento del mismo lado, y de las rectas, trazadas a la parte restante de la sección, la más cercana a esta última recta, será menor que la más alejada.

Sea ABC una sección Paso 1, de eje CE Paso 2, bajo el cual se toma el punto D Paso 3, y sean DA, DB dos rectas trazadas a la sección, sobre las que el eje intercepta rectas mínimas Paso 4. Digo que la recta DB es la mayor recta que se puede trazar desde el punto D hasta el arco ABC de la sección; que las rectas más cercanas por una y otra parte de la recta BD son mayores que las más alejadas; que la recta DA es la menor recta que se puede trazar desde el punto D al arco restante AX de la sección; y finalmente, que la recta más cercana a la recta DA es menor que la más alejada.

Tracemos desde el punto D la perpendicular DE al eje CE Paso 5, y busquemos, de la manera que hemos usado en [Prop. V.64 y Prop. V.65], la recta EL Paso 6, que se utilizará como término de comparación con la recta DE, y que debe verificar DE < EL. En efecto, la recta DE no puede ser mayor que la recta EL, porque, entonces, sería imposible trazar, por el punto D, una recta sobre la que se intercepta una recta mínima; y no pueden ser iguales, porque en estas condiciones, sólo conseguiríamos una recta mínima [Prop. V.51 y Prop. V.52]. Por lo tanto, DE < EL, en cuyo caso podemos trazar dos rectas cuyos segmentos interceptados son rectas mínimas, y en el que las rectas mínimas trazadas desde los extremos de las rectas intermedias a las rectas DA, DB estarán más cerca del vértice C que estas rectas intermedias, mientras que las rectas mínimas trazadas desde los extremos de las otras rectas que hayamos trazado estarán más lejos de este vérticeo [Prop. V.51 y Prop. V.52]. Evidentemente, resultará de la misma manera que lo demostramos en [Prop. V.64], que la recta DB es mayor que cualquier recta trazada desde el punto D al arco BC de la sección, mientras que las rectas más cercanas a la recta DB, del lado del vértice C, son mayores que las más alejadas; y se deduce que la recta DB es al mismo tiempo mayor que cualquier otra recta trazada al arco AB de la sección, mientras que la recta que es adyacente más cercana es mayor que la que es adyacente más lejana. Esto se demuestra de la siguiente manera: Tracemos rectas DM, DN Paso 7, y sean BQ, QMH las tangentes en los puntos B, M Paso 8. Por lo tanto, dado que BP es una recta mínima, y que BQ es una tangente a la sección, el ángulo ∠(QBD)será recto [Prop. V.27 y Prop. V.28]; mientras que el ángulo ∠(QMD) es obtuso Paso 9, porque la recta mínima trazada desde el punto M al eje CE, está más cerca del vértice C que la línea MD [Prop. V.51 y Prop. V.52]. Sin embargo, considerando el triángulo rectángulo △(DBQ), tenemos [Euclides:Prop. I.47] : DQ²=QB²+ BD², y, considerando el triángulo obtusángulo △(DMQ) tenemos [Euclides:Prop. II.12] : DQ² > QM²+DM²; por lo tanto : QB²+BD² > QM²+DM². Ahora, en virtud de [Prop. V.68] en la parábola, y de [Prop. V.69] en la hipérbola, tenemos : QB < QM, por lo tanto: QB²< QM²; por lo tanto: BD² > DM², por lo tanto: BD > DM. Dado que el ángulo ∠(DMQ) es obtuso, el ángulo ∠(DMH) es agudo, por lo tanto, considerando el triángulo acutángulo (DMH), tenemos [Euclides:Prop. II.13]: DH² < HM²+DM². Sin embargo, como la recta DN está más alejada del vértice C que la recta mínima trazada desde el punto N, el ángulo ∠(DNH) es obtuso; por lo tanto [Euclides:Prop. II.12] : DH² > HN²+DN². Las dos desigualdades precedentes dan así: HM²+DM² > HN²+DN². Como, en virtud de [Prop. V.68 y Prop. V.69] se tiene: HM > HN; luego DM > DN. Análogamente se prueba que DN > DA.

En consecuencia, la recta BD es la mayor de las rectas trazadas desde el punto D al arco AC de la sección, y la recta más cercana a esta última es mayor que la más alejada. De hecho, se establecerá que la recta DA es menor que cualquier recta trazada desde el punto D hasta arco restante AX de la sección, usando el mismo razonamiento que para el realizado durante la demostración de [Prop. V.64]. Será igualmente obvio que entre las rectas trazadas desde el punto D hasta la sección AX, la recta más cercana a la recta AD es mayor que la más alejada.

Q. E. D.