Si se verifican las mismas condiciones de la proposición anterior, excepto que ahora la sección es una elipse, y que el eje es su eje mayor, entonces la menor de las rectas trazadas desde el punto dado será la que es igual a la mitad del lado recto, mientras que la mayor será la parte restante del eje; y, para las otras rectas, las más cercanas a la recta mínima serán menores que las más alejadas. Por otra parte, el cuadrado de cada una de ellas excede al cuadrado de la recta mínima en una cantidad igual al rectángulo construido sobre la recta entre el pie de su perpendicular y el vértice de la sección semejante al rectángulo delimitado por el diámetro transverso y la diferencia entre el diámetro transverso y el lado recto, donde el diámetro transverso es el homólogo a la recta entre el pie de perpendicular y el vértice de la sección.

Sea ABC una elipse de eje mayor AC. Sea la recta CD igual a la mitad del lado recto, y tracemos desde el punto D a la sección, rectas DF, DE, DB, DG. Digo que la recta DC es la menor de las que se pueden trazar desde el punto D; que la recta DA es la mayor de ellas; que las más cercanas a la recta DC son menores que las más alejadas, finalmente, que el cuadrado de cada una de las restantes rectas excede al cuadrado de DC en una cantidad igual al rectángulo construido sobre la recta entre el pie de su recta perpendicular y el vértice C, semejante al rectángulo limitado por el eje CA y la diferencia entre este eje y el lado recto.

Hagamos CH=(1/2)lado recto; sea I el centro, y tracemos las rectas FKN, EL, BDX perpendiculares al eje. Tracemos, por el punto A, la recta AQ paralela a estas últimas rectas, y tracemos las dos rectas JT, NS paralelas al eje CA. Entonces, FK²=2⏢(CHNK)=2(⏢(CHJK) + △(HJN))[Prop. V.1]. Como, DC = CH, entonces, por semejanza de triángulos, KD = KJ, de donde DK² = DK·KJ = 2△(KDJ). Luego DF² = DK² + FK² = 2(△(KAJ) + ⏢(CHJK) + △(HJN)) = 2(△(DCH) + △(HJN)). Como, DC² = 2△(DCH), y ▭(JNTS) = 2△(HJN); entonces DF² = DC² + ▭(JNTS) = DC² + JT·JN = DC² + KC·JN. Como 2IC = AC y 2CH = lado recto; entonces IC/CH = AC/lado recto. Como, por semejanza de triángulos, NS/SH = IC/CH, entonces NS/SH = AC/2CH, o ya que NS = TJ = HT, se tiene HT/SH = AC/2CH, de donde HT/(HT-SH) = HT/TS = AC/(AC- CH), o TJ/JN = AC/(AC-CH), de donde, ya que TJ = KC, tenemos que JN = KC((AC-2CH)/AC), de donde DF² = DC² + KC²((AC-2CH)/AC).

Además, digo que el cuadrado de la recta DB está en el mismo caso que el cuadrado de la recta DB. En efecto, AB² = 2⏢(CDXH) = 2(△(CDH) + △(DHX)). Como CD² = CD·CH = 2△(CDH); luego DB² - CD² = 2△(DHX) = CD·DX. Como, por semejanza de rectángulos, DX/CD = (AC - 2CH)/AC, entonces DX = CD((AC - 2CH)/AC); luego DB² = CD² + CD²((AC - 2CH)/AC).

Digo también que DG² = CD² + CM²((AC - 2CH)/AC).

En efecto, GM² = 2⏢(MAOP) = 2(△(AIO) - △(MIP))[Prop. V.1]. Ya que el triángulo DMR es semejante al triángulo isósceles HDC, tenemos MD = MR, de donde MD² = MD·MR = 2△(DMR); luego DG² = GM² + MD² = 2(△(AIO) - △(MIP) + △(DMR)) = 2(△(AIO) + ⏢(IDRP)); o, ya que △(AIO) = △(IHC), DG² = 2(△(IHC) + ⏢(IDRP)) = 2(△(DCH) + △(RHP)). Como, CM·RP = 2△(RHP), entonces DG² = CD² + CM·RP. Como, por semejanza de rectángulos, RP/CM = (AC - 2CH)/AC, entonces DG² = CD² + CM²((AC - 2CH)/AC).

Paralelamente, ya que el triángulo QDA es semejante al triángulo isósceles HDC, tenemos que QA = DA; luego DA² = DA·QA = 2△(QAD) = 2(⏢(QOID) + △(OIA)) = 2(⏢(QOID) + △(HIC)) = 2(△(QHO) + △(DCH)). Como, CD² = CD·CH = 2△(DCH); luego DA² = CD² + 2△(QHO). Como, AC·QO = 2△(QHO); entonces DA² = CD² + AC·QO. Como, por semejanza de rectángulos, QO/AC = (AC - 2CH)/AC, entonces QO = AC - 2CH; luego DA² = CD² + AC²((AC - 2CH)/AC).

Como, el rectángulo construido sobre la recta CA es mayor que el construido sobre la recta CM, y el construido sobre la recta CM es mayor que el construido sobre la recta CD; entonces, la recta CD es la menor de las rectas trazadas desde el punto D a la sección, y la recta DA es la mayor de ellas. En cuanto a las otras, las más cercana a la recta mínima es menor que la más alejada. Por otra parte, la diferencia dentre el cuadrado de cada una de estas rectas y el cuadrado de la recta mínima es una cantidad igual al rectángulo mencionado.

Q. E. D.