Si la sección es una hipérbola, o una elipse, como ABCD Paso 1, cuyo eje es la recta MD Paso 2, y cuyo centro es el punto N Paso 3, tracemos, en esta sección, dos rectas mínimas, como BE, CF Paso 4, desde el punto de corte H de ellas tracemos una recta HLK Paso 5. Digo que la parte de esa última recta, interceptada entre la sección y el eje, no es una de las rectas mínimas, sino que la recta mínima, trazada desde el punto K, corta un segmento del eje mayor que la recta DL.

Desde el punto H, tracemos la recta HM perpendicular al eje Paso 6y tracemos, por el centro N, la recta NQ paralela a la recta MH Paso 7. Sea HQ la recta trazada por el punto H, paralela a la línea MN Paso 8, y prolonguemos la recta NQ para que se encuentre con las rectas HC, HB; reunión que se lleva a cabo en los puntos B',H' Paso 9. Además, asegurémonos de que QP/PN = diámetro tranverso/lado recto, y NO/OM = diámetro tranverso/lado recto Paso 10; tracemos las rectas OR, BS, CG, KT' perpendiculares al eje Paso 11, y prolonguemos la recta de unión CB hasta el punto T, donde se encuentra con la recta PX, trazada por el punto P, paralela al eje DN Paso 12. Por lo tanto, como BE, CF son rectas mínimas y la recta BS es perpendicular al eje, NS/SE = diámetro transverso/lado recto [Prop. V.9, Prop. V.10]. Ya que, NO/OM = diámetro transverso/lado recto, entonces NO/OM = NS/SE, de donde NO/(NO±OM) = NS/(NS±SE), o, NO/MN = NS/EN, de donde MN/NO = EN/NS, luego (MN-EN)/(NO-NS) = ME/OS = MN/NO. Ahora, OS = Q'Y, por lo tanto ME/Q'Y = MN/NO. Además, como QP/PN = diámetro transverso/lado derecho, entonces QP/PN = NS/SE; de modo que, (QP±PN)/PN = (NS±SE)/SE, o, QN/PN = NE/SE, de donde, ya que PN=SY y NE/SE = NH'/BS, QN/SY = NH'/BS, luego (NH'·QN)/(BS·SY) = NH'/BS, o, QH'/BY = NH'/BS, o, QH'/BY = QP/PN. Por otro lado, QN·NM/PN·NO = QN/PN·NM/NO. Sin embargo, ya que QN = MH y NO = PQ', NM·MH/PN·PQ' = QH'/BY·EM/Q'Y = QH'·EM/BY·Q'Y. Ya que se tiene la semejanza de los triángulos △(HQH') y △(EMH), entonces QH'/HQ = MH/EM, de donde QH'·EM = HQ·MH, luego NM·MH/PN·PQ' = NM·MH/BY·Q'Y, por lo tanto, NP·PQ' = BY·YQ'. Del mismo modo, NP·PQ' = CD'·D'Q', y por lo tanto BY·YQ' = CD'·D'Q'. Por consiguiente, BY/CD' = D'Q'/Q'Y. Pero, por semejanza de triángulos, BY/CD' = YT/TD'; por lo tanto, YT/TD' = D'Q'/Q'Y, y, YT-TD'/TD' = D'Q'-Q'Y/Q'Y, o, YD'/D'T = YD'/Q'Y, de lo que obviamente se deduce que Q'Y = TD'. Por lo tanto, es obvio que TD' > TG'; por consiguiente, Q'Y > TG', de donde G'Y/TG' > G'Y/Q'Y, y, G'Y+TG'/TG' > G'Y+Q'Y/Q'Y, o, YT/TG' > G'Q'/Q'Y. Pero, YT/TG' = BY/E'G'; por lo tanto, BY/E'G' > G'Q'/Q'Y; de donde BY·Q'Y > E'G'·G'Q', por lo que, ya que KG' > E'G', BY·Q'Y > KG'·G'Q'; en consecuencia, NP·PQ' > KG'·G'Q'. Sin embargo, NO/OM = QP/NP = diámetro transverso/lado recto, de donde, NP·NO = QP·OM, o, NP·PQ' = HX·HR; por lo tanto, XH·HR > KG'·G'Q'. Ahora, XH·HR = HX·XQ'; en consecuencia, HX·XQ' > KG'·G'Q', y OX/KG' > G'Q'/Q'X. Se tiene por semejanza de triángulos que HX/KG'=XF'/F'G', por lo tanto, XF'/F'G'> G'Q'/XQ', de donde XF'+F'G'/F'G' > G'Q'+XQ'/XQ', o, XG'/F'G' > G'X/XQ', de donde XQ'>F'G', por lo tanto QH/XQ'< QH/F'G'. Ahora, por la semejanza de los triángulos △(HEF'), △(F'G'K), se tiene que QH/F'G'=QI'/KG', luego QH/XQ'>QI'/KG', de donde, ya que QH=MN y XQ'=MO, MN/MOQN/NP, o, NI'/KT'>QN/NP. Por semejanza de triángulos se tiene que NI'/KT'= NL/LT', de donde NL/LT'>QN/NP, por tanto (NL∓LT')/LT'>(QN∓NP)/NP, o, NT'/LT'>QP/NP, o, NT'/LT'>diámetro transverso/lado recto. Ya que no se puede encontrar una recta mayor que LT' que transforme esta desigualdad en igualdad; por lo tanto, esta recta añadida a la recta DT' será el segmento cortado en el eje por la recta mínima trazada desde el punto K [Prop. V.9, Prop. V.10, Prop. V.15]. Por consiguiente, KL no es esa recta mínima. Por lo tanto, si hacemos que NT'/otra recta = diámetro transverso/lado recto, esta otra recta será mayor que la recta LT'; de modo que la recta más pequeña que podemos trazar desde el punto K cortará un segmento del eje, adyacente al vértice A, que será mayor que la recta DL.

Si ahora trazamos otra recta, como por ejemplo la recta HL'AA' Paso 13, digo que la recta AL' no es una recta mínima, y que la recta mínima, trazada por el punto A, cortará un segmento del eje, mayor que la recta DL'. En efecto, tracemos, perpendicularmente al eje, la recta AS' que prolongamos al punto V' y al punto I Paso 14. Entonces, ya que TD' = YQ', entonces TD' > Q'I, D'I/IQ' > D'I/TD', y, (D'I+Q'I)/Q'I > (D'I+TD')/TD', o, D'Q'/Q'I > IT/TD'. Pero, IT/TD' = IV'/CD'; así que D'Q'/Q'I > IV'/CD', por tanto D'Q'/Q'I > IA/CD', CD'·D'Q'>IA·Q'I. Como PN·PQ' = CD'·D'Q', o, PN·NO = CD'·D'Q', luego, MN·NO > IA·Q'I. Como, NO/OM = QP/PN, entonces PN·NO= QP·OM = XH·HR; luego XH·HR > IA·Q'I, o, XH·XQ' > IA·Q'I, de donde, XH/IA > Q'I/XQ'. Como, por semejanza de triángulos XH/IA=XK'/K'I, luego XK'/K'I > Q'I/XQ', de donde, XK'/(XK'+K'I) > Q'I/(Q'I+XQ'), o, XK'/IX > Q'I/IX, de donde XK'>Q'I, por tanto XK'+Q'K'>Q'I+Q'K', o, XQ'>IK', de donde QH/XQ' QH/XQ', entonces, ya que QH=NM y XQ'= MO, QA'/AI > NM/MO. Pero, NM/MO=QN/NP, luego QA'/AI > QN/NP, de donde (QA'∓QN)/(AI∓NP) > QN/NP, o, A'N/AS'> QN/NP. Ya que, por semejanza de triángulos, A'N/AS'=NL'/L'S'; luego NL'/L'S'>QN/NP, de donde (NL'∓L'S')/L'S'>(QN∓NP)/NP, o, NS'/L'S'>QP/NP, luego, ya que QN/NP=diámetro transverso/lado recto, entonces NS'/L'S'>diámetro transverso/lado recto; por lo tanto, si se hace NS'/otra recta = diámetro transverso/lado recto, esta otra recta será mayor que la recta S'L'. Entonces, la recta más pequeña que puede trazar desde el el punto A cortará un segmento del eje, mayor que la recta HL' [Prop. V.9, Prop. V.10]. Como antes, AL' no es una recta mínima; porque, la recta mínima desde el punto A debe cortar un segmento en el eje que es mayor que la recta DL' [Prop. V.9, Prop. V.10].

Finalmente, si se traza otra recta, como la recta HV'UO' Paso 15, en el intervalo de las rectas BE, CF, digo que la recta V'U no es una de las rectas mínimas, y que la recta mínima, trazada por el punto U, cortará un segmento del eje, menor que la recta DV'. Tracemos la recta UM'N' perpendicularmente al eje Paso 16. Entonces, ya que TD' = YQ', TD' < N'Q', de donde N'D'/TD' > N'D'/N'Q', de donde (N'D'+TD')/TD' > (N'D'+N'Q')/N'Q', o, N'T/TD' > D'Q'/N'Q'. Ya que N'T/TD'=P'N'/CD', se tiene que P'N'/CD' > D'Q'/N'Q', de donde P'N'·N'Q' > CD'·D'Q', y así UN'·N'Q'>CD'·D'Q'. Como, CD'·D'Q'=NP·PQ' y NP·PQ' = XH·HR = XH·XQ', entonces UN'·N'Q' > XH·XQ', de donde UN'/XH > XQ'/N'Q'. Ya que UN'/XH =N'R'/R'X, se tiene que N'R'/R'X> XQ'/N'Q', de donde N'R'/(N'R'+R'X)>XQ'/(XQ'+N'Q'), o, N'R'/N'X > XQ'/N'X, luego N'R'>XQ', de donde QH/XQ'> QH/N'R'. Ya que, por semejanza de triángulos, QH/N'R' = QO'/UN', luego QH/XQ'>QO'/UN', de donde, ya que QH=MN y XQ'=MO, se tiene que MN/MO=QN/NP, luego QN/NP>QO'/UN', de donde QN/PN>(QO'∓QN)/(UN'∓PN), o, QN/PN>O'N/UM'. Ya que, por semejanza de triángulos, O'N/UM'=NV'/V'M', luego QN/PN>NV'/V'M', de donde (QN∓NP)/PN > (NV'∓V'M')/V'M', o, QP/PN > NM'/V'M', de donde, ya que QP/NP = diámetro transverso/lado recto, diámetro transverso/lado recto > NM'/V'M'. De esto, deducimos, como antes, que UV' no es una recta mínima; porque, la recta mínima trazada desde el punto U cortará un segmento del eje, menor que la recta DV' [Prop. V.9, Prop. V.10].

Q. E. D.