En cualquier sección cónica, si se eleva una perpendicular sobre
el eje en cualquier punto no muy alejado del vértice de la sección a una distancia superior a la mitad del
lado recto, y si se toma, en esta perpendicular, un punto desde el cual parte una
recta cualquiera al otro lado de la sección, entre la perpendicular
y el vértice de la sección, la recta mínima, trazada desde el extremo de esta última recta, no será parte de esta,
pero cortará, sobre el eje, una porción adyacente al vértice de la sección, que
será mayor que la que corta la recta trazada desde el punto seleccionado.
Sea primero una parábola AB de eje BC , y que
la recta ED es perpendicular , de modo que la recta EB,
segmento del eje cortado por esta perpendicular, no es mayor que
la mitad lado recto. Tomemos, en la recta DE, un punto
cualquiera D, fuera del eje, y tracemos una recta DHA . Digo que el AH no es una recta mínima.
En efecto, tracemos la perpendicular AG .
Por lo tanto, ya que la recta EB no es mayor que la
mitad del lado recto, la recta EG será menor que la mitad del lado recto.
Tomemos la recta GC igual a la mitad del lado recto, y tracemos la recta AC .
Por lo tanto, la recta AC será pues mínima [Prop. V.8]; de manera que AH no será una recta
mínima [Prop. V.24]. Por otro lado, la recta mínima trazada
desde el punto A corta un segmento del eje mayor que la recta BE; por lo tanto,
cae más lejos del vértice de la sección que la
recta AH.
Q. E. D.