Si la sección es una hipérbola, tal como ABC , descrita sobre la recta
DE como eje, y teniendo el punto D como centro , y si se toma bajo
el eje un punto F , de modo que la recta de unión AF forma con el eje un ángulo agudo ∠(FAE) , y si no se puede trazar
desde este punto F ninguna recta sobre la que sea interceptada una recta mínima, digo que la recta AF es menor
que cualquier otra recta que se trace desde el punto F hasta la sección, y que,
si se trazan rectas cualesquiera desde este mismo punto F a la sección,
la más cercanas a la recta AF son menores que las más alejadas.
Será obvio si una recta mínima cualquiera, trazada por un
cualquier punto de la sección ABC sobre el eje AE, cae en un lado más
cercano del vértice A que la recta que conecta este punto y el punto F.
Desde el punto F, tracemos la recta FE perpendicular al eje , y la
recta AE será igual a la mitad del lado recto, o mayor o menor que la mitad del lado recto.
Si esta recta es igual o menor
que la mitad lado recto, y si de las rectas que parten del punto F hasta la
sección ABC, las rectas mínimas trazadas desde sus extremos hasta el eje
estarán más lejanas del vértice A que estas
últimas [Prop. V.45].
Por otro lado, si AE > 1/2(lado recto),
asegurémonos de que DH/HE = diámetro transverso/lado recto , y tomemos dos rectas
DG, DK medias proporcionales a las rectas HD, DA [Prop. V.52].
Además, levantemos en el punto K la recta KB perpendicular a
la recta AE , y asegurémonos de que EL/KB = DE·HK/DK·HE .
Digo que la recta FE debe ser mayor que la recta EL.
En efecto, supongamos que no fuera más grande, primero supongamos que FE=EL.
Por lo tanto, ha sido demostrado que se podría
trazar desde el punto F una sola recta en la que el eje intercepta una recta
mínima [Prop. V.52]. Pero, como por hipótesis no es así, la recta EF
no es igual a la recta EL.
De manera análoga se demostraría que la recta FE no es menor que la recta EL,
ya que, si fuera más pequeña, no sería imposible
trazar desde el punto F dos rectas, cuyas partes interceptadas
entre la sección y el eje son rectas mínimas. En consecuencia,
FE > EL.
Pero, ha sido demostrado
que, si FE > EL, no podemos
trazar, desde el punto F, una recta en la que el eje intercepta una recta mínima
y que las rectas mínimas trazadas desde los extremos de las rectas mínimas
desde el punto F están más alejadas del vértice A que
estas rectas trazadas desde el punto F [Prop. V.52].
Por consiguiente, si se traza
cualquier recta desde el punto F hasta la sección, las rectas mínimas trazadas
desede sus extremos estarán mque ellas del punto A; de modo que
que, por las mismas razones que hemos usado
para la parábola en la proposición anterior, quedará claro
que la recta AF será menor que cualquier otra recta trazada por el
punto F a la sección ABC, y que la recta más cercana de
la línea AF es menor que la más alejada.
Q. E. D.