Si se trazan dos rectas mínimas desde el eje de una de las secciones cónicas, y se prolongan hasta que se corten, y se traza otra recta desde su punto de encuentro cortando al eje y terminando en la sección, entonces la parte de ella que cae entre la sección y el eje no es una recta mínima, y si la recta trazada no está situada entre las dos rectas mínimas y se traza una recta mínima desde el extremo situado en la sección, entonces esa recta mínima corta un segmento del eje, adyacente al vértice de la sección, mayor que el cortado por la recta trazada, pero si la línea recta trazada está entre dos rectas mínimas, entonces la recta mínima trazada desde el punto en que alcanza a la sección corta al eje adyacente al vértice de la sección un segmento más pequeño que el segmento cortado por la recta trazada. En el caso de la elipse las dos rectas mínimas y la recta trazada deben encontrarse con el mismo semieje mayor de esta sección.

En primer lugar sea ABC una parábola Paso 1 de eje la recta DG Paso 2; sean BF, CE dos rectas mínimas trazadas desde esta parábola, que se cortan en el punto O Paso 3, y tracemos desde el punto O, una recta KL que sea, primero, exterior a las rectas OF, OE Paso 4. Digo que KL no es una recta mínima, y que la recta mínima, trazada por el punto K, intercepta en el eje, un segmento, de extremo el vértice D de la sección y que es mayor que DL.

Tracemos las perpendiculares OG, BP, CN, KM Paso 5, y tomemos HG = 1/2(lado recto) Paso 6. Por lo tanto, como BF es una recta mínima, y la recta BP es una perpendicular, PF = 1/2(lado recto) [Prop. V.13]. Por consiguiente, PF = HG; de modo que PH = PF - HF = HG - HF - FG, y GH/PH = PF/FG. Ya que, por semejanza de triángulos, PF/FG = PB/OG, entonces GH/PH = PB/OG; por lo tanto, OG·GH = PB·PH. De la misma manera, para la recta mínima CE, se tiene que OG·GH = CN·NH, y PB/CN = NH/HP. Tracemos la recta de unión BC; prolonguémosla hasta su punto de encuentro con el eje DG en el punto U Paso 7, y prolonguemos la perpendicular KM hasta el punto S Paso 8. PU/UN = NH/HP, y, PN/UN = (PU-UN)/UN = (NH-HP)/HP = PN/HP, de donde UN = HP. Ya que UM < UN, entonces UM < HP, luego PM/UM > PM/HP, de donde (PM+UM)/UM > (PM+HP)/HP, esto es, PU/UM > MH/HP. Ya que PU/UM = PB/MS, entonces PB/MS > MH/HP, de donde PB·HP > MS·MH. Ya que KM < MS, entonces PB·HP > KM·MH. Ya que PB·HP = OG·GH, entonces OG·GH > KM·MH, de donde OG/KM > MH/GH. Como OG/KM = GL/LM, entonces GL/LM > MH/GH, de donde (GL+LM)/LM > (MH+GH)/GH, esto es, GM/LM > GM/GH, así GH > LM. Pero, GH = 1/2(lado recto); por lo tanto, LM < 1/2(lado recto). En consecuencia, la recta mínima que se trazar desde el punto K intercepta sobre el eje un segmento DM+1/2(lado recto) > DM+LM = DL [Prop. V.13], y la recta KL, que intercepta el segmento LD = DM+LM, no es una recta mínima [Prop. V.24].

Ahora tracemos otra recta cualquiera tal como OA, al otro lado de las rectas BO,OC Paso 9, que corta a GD en J Paso 10, digo que ΑJ no es una recta mínima, y que la recta trazada desde el punto Α intercepta en el eje un segmento mayor que DJ.

Sea AX la perpendicular a la recta DG Paso 11 y prolonguémosla hasta el punto R Paso 12. Se tiene que UN = PH. Ya que UX > UN, entonces UX > PH, de donde PX/UX < PX/PH. Así PX/(UX-PX) < PX/(PX-PH), esto es, PX/PU < PX/XH, de donde (PX+PU)/PU < (PX+XH)/XH, esto es, XU/PU < PH/XH. Ya que XU/PU = XR/PB, entonces XR/PB < PH/XH, de donde XR·XH < PH·PB, luego, ya que AX < XR, se tiene que AX·XH < PH·PB. Ya que PH·PB = OG·GH, entonces AX·XH < OG·GH, de donde AX/OG < GH/XH. Ya que XJ/JG = AX/OG, entonces XJ/JG < GH/XH, de donde XJ/(XJ+JG) < GH/(GH+XH), esto es, XJ/XG < GH/XG, luego GH>XJ. Como GH=1/2(lado recto), entonces XJ < 1/2(lado recto). Ya que la recta mínima trazada desde el punto A intercepta un segmento DX+1/2(lado recto) > DX+XJ=DJ [Prop. V.13], y la recta AJ, que intercepta el segmento DJ = DX+XJ, no es una recta mínima [Prop. V.24].

Finalmente, si se traza una recta tal como OY, situada entre las rectas OB, OC Paso 13, digo que YT no es una recta mínima, y que la recta mínima, trazada desde el punto Y, cortará un segmento del eje, adyacente al vértice D, menor que el segmento DT de este eje.

En efecto, tracemos la perpendicular YI Paso 14 que corta a la recta BC en el punto Q Paso 15. Se tiene que UN = PH. Ya que IU < UN, entonces IU > PH, de donde PI/IU < PI/PH, luego (PI+IU)/IU < (PI+PH)/PH, esto es, PU/IU < IH/PH. Ya que PU/IU = BP/QI, entonces BP/QI < IH/PH, luego BP PH < QI IH, de donde, ya que QI < YI, se tiene que PB PH < YI IH. Como BP PH = OG GH, entonces OG GH < YI IH, de donde OG/YI < IH/GH. Ya que OG/YI = GT/TI, entonces GT/TI < IH/GH, de donde (GT+TI)/TI < (IK+GH)/GH, esto es, GI/TI < GI/GH, luego GH < TI. Ya que GH=1/2(lado recto), entonces TI < 1/2(lado recto). Ya que la recta mínima trazada desde el punto Y intercepta sobre el eje un segmento DI+1/2(lado recto) > DI + TI = DT [Prop. V.13], y la recta YT que intercepta el segmento DT = DI+TI no es una recta mínima [Prop. V.24].

Q. E. D.