Si se toma, en el eje menor de una elipse, un punto cuya distancia al vértice de la sección es menor que la mitad del lado recto, pero mayor que la mitad del eje menor; si se divide el segmento comprendido entre el vértice y el centro de la sección de tal manera que la porción entre el punto de división y el centro sea a la distancia desde este mismo punto hasta el punto tomado primero como la razón del diámetro transverso es al lado recto; si, desde el punto así determinado, levantamos, perpendicular al eje, una recta que corta a la sección, y si conectamos el punto tomado en primer lugar con el punto de corte de esta recta, la recta de unión será la mayor de todas las que se puede trazar desde el punto que se ha tomado; mientras que, entre las otras rectas, la más cercana a esta última será mayor que la más lejana. Además, la diferencia entre el cuadrado de esta recta máxima y el cuadrado de cualquier otra recta trazada, es equivalente al rectángulo que, construido sobre el segmento comprendido entre el punto determinado y el pie de la perpendicular, es semejante al rectángulo de lados el diámetro tranverso y la diferencia de este diámetro y su lado recto.

Sea ABC una elipse Paso 1, y sea AC su eje menor Paso 2 en el que se toma un punto D tal que CD > 1/2 AC, pero CD < 1/2(lado recto) Paso 3. Sea E el centro Paso 4 y dividamos la recta EC en un punto M tal que EM/MD = diámetro tranverso/lado recto Paso 5. Finalmente, elevemos, desde el punto M, la recta FM perpendicular a la recta AC Paso 6, y tracemos la recta de unión FD Paso 7. Digo que la recta FD es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto D a la sección; que la recta más cercana a cada lado es mayor que la más alejada, y que la diferencia entre el cuadrado de la recta FD y el cuadrado de cualquier otra recta es equivalente al rectángulo que, construido sobre el segmento comprendido entre el punto M y el pie de la perpendicular, es semejante al rectángulo que hemos determinado en las proposiciones anteriores.

Tracemos otras rectas cualesquiera DH, DG, DF, DL Paso 8, y sea la recta DB perpendicular al eje Paso 9. Hagamos CT = 1/2(lado recto) Paso 10, y tracemos las perpendiculares HN, GK, LQ Paso 11; finalmente, tracemos la recta de unión ET que extendemos Paso 12, y tracemos paralelas a la recta AC, como lo hicimos en proposiciones anteriores Paso 13. Se tiene EC=1/2(eje menor) y CT=1/2(lado recto). Ya que, ME/DM=eje menor/lado recto, entonces ME/DM=EC/CT. Como, por semejanza de triángulos, se tiene, ME/MS= EC/CT, entonces ME/MS =ME/DM, de donde DM=MS, luego DM² = DM·MS = 2△(MDS). Como MF²=2⏢(CTSM) [Prop. V.1], entonces DM² + MF²= DF²= 2(△(MDS)+⏢(CTSM)). Por otra parte, GK²=2⏢(KCTJ) [Prop. V.1], y como DK=KI, entonces DK²=DK·KI=2△(KDI), luego DK²+GK²= DG²= 2(△(KDI)+⏢(KCTJ)). Entonces DF²-DG²=2(△(MDS)+⏢(CTSM)-△(KDI)-⏢(KCTJ))= 2△(KIS)=KM·JI. Ya que, se demuestra como en [Prop. V.16], KM/JI = AC/(2CT-AC), se tiene la semejanza del rectángulo de lados KM, JI y el rectángulo de lados AC, 2CT-AC, y JI=KM((2CT-AC)/AC), luego DF²-DG²=KM²((2CT-AC)/AC).

Se prueba paralelamente que DF²-DH²=MN²((2CT-AC)/AC).

Finalmente, la semejanza del triángulo con el triángulo isósceles da CD=CO, de donde CD²=CD·CO = 2△(DCO). Ya que, DF² =2△(DCT), entonces DF² - CD² =2(△(DCT)-△(DCO))=2△(OTS)=CM·OT. Como, razonando de forma análoga, CM/OT=AC/(2CT-AC), de donde la semejanza del rectángulo de lados CM, OT y el rectángulo de lados AC, 2CT-AC y OT=CM((2CT-AC)/AC), luego DF²-CD²=CM²((2CT-AC)/AC).

Entonces, las relaciones precedentes dan DF²=DG²+KM²((2CT-AC)/AC)= DH²+MN²((2CT-AC)/AC)=CD²+CM²((2CT-AC)/AC). Como, KM < MN < CM, entonces DF > DG > DH > CD.

Además, DB²=2⏢(PADR)=2(△(PEA)-△(RED)) [Prop. V.3]. Ya que, DF²=2(△(MDS)+⏢(CTSM)) = 2(△(ECT)+△(DES))=2(△(PEA)+△(DES)), luego DF²-DB²=2(△(PEA)+△(BED)-△(PEA)+△(DES))=2△(RDS)=MS·DE=DM·ME.

Se demuestra, como en los casos anteriores, que DM/ME=AC/(2CT-AC), de donde la semejanza del rectángulo de lados DM, ME y el rectángulo de lados AC, 2CT-AC y ME=DM((2CT-AC)/AC), luego DF²-DB²=DM²((2CT-AC)/AC).

Finalmente, razonando de manera semejante, se tiene DF²-DL²= MQ²((2CT-AC)/AC).

La comparación de las relaciones anteriores dan pues, DF > DB > DL, luego la recta DF es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto D a la sección; entre las otras la más cercana es mayor que la más alejada y la diferencia entre el cuadrado de la recta DF y el cuadrado de otra recta cualquiera es equivalente al rectángulo, del tipo que hemos dicho, construido sobre el segmento comprendido entre el punto M y el pie de la perpendicular.

Del mismo modo también se demostrará que si la mitad del lado recto, es mayor que el diámetro transverso, es igual al eje menor, o si es mayor que él, entonces, de las rectas trazadas desde el punto D de la primera figura o del punto A de la segunda figura o desde un punto, como el punto D, fuera del punto A de la tercera figura, la mayor es la recta mencionada. Esto se demostrará para la segunda y tercera figura por un método similar al indicado para la primera figura.

Q. E. D.