Si la perpendicular a la que se refieren las proposiciones [Prop. V.49] y [Prop. V.50] corta un segmento del eje mayor, más grande que la mitad del lado recto, digo que uno puede determinar una recta de referencia de tal manera que si la distancia desde el punto elegido hasta el eje, es decir, la longitud de la perpendicular, es mayor que la recta de referencia, no se podrá trazar, desde el extremo de la perpendicular a la sección, absolutamente ninguna recta sobre la que el eje corte una recta mínima; mientras que la recta mínima trazada desde el extremo de cualquier recta que parte de este punto hasta la sección cortará, sobre el eje, un segmento que termina en el vértice de la sección mayor que el cortado por la recta trazada por el punto.

Por otro lado, si la perpendicular es igual a la recta de referencia, digo que es posible trazar, desde el extremo de la perpendicular, una sola recta en la que una recta mínima puede ser cortada; mientras que las rectas mínimas, trazadas desde los extremos de todas las demás rectas que parte del mismo punto, cortarán segmentos adyacentes al vértice del eje, más grandes que los que son cortados por las rectas trazadas desde el punto.

Finalmente, si la perpendicular es menor que la recta de referencia, digo que no se podrán trazar más que dos rectas en las que el eje intersecta rectas mínimas, y que las rectas mínimas trazadas desde los extremos de las rectas trazadas desde el punto, y situadas entre las dos rectas mínimas que acabamos de decir, cortará porciones en el eje que terminan en el vértice de la sección, más pequeñas que las cortadas por las rectas trazadas desde el punto; mientras que las rectas mínimas trazadas desde los extremos de las otras rectas trazadas desde el punto, no situadas entre las dos rectas mínimas en cuestión, cortarán porciones del eje más grandes del eje, que las cortadas por las rectas trazadas desde el punto. En cualquier caso, la perpendicular en la elipse debe ser trazada sobre el eje mayor.

Sea primero una parábola ABC Paso 1, de eje CF Paso 2 sobre el que trazamos la recta EF perpendicularmente de manera que el segmento CF del eje sea mayor que la mitad del lado recto Paso 3. Digo que, si se toman puntos de la recta EF desde los cuales las rectas parten hacia la sección todas las cosas sucederán como hemos dicho en esta propoposición.

Ya que CF > 1/2(lado recto); tomemos FG= 1/2(lado recto) Paso 4, y dividamos la recta CG en un punto H, de tal manera que HG = 2HC Paso 5. Levantemos la perpendicular HB Paso 6; de manera que K/HB=HG/GF Paso 7, y, tomando un punto E en la recta EF, sea primero FE > K. Digo que no se podrá trazar desde el punto E una recta sobre la que el eje corte una recta mínima, y, si trazamos, por ejemplo, la recta ELB Paso 8, digo que BL no es una recta mínima.

En efecto, K/HB=HG/GF, mientras que K < FE; por lo tanto, FE/HB > HG/GF, y como FE/HB = FL/LH, entonces FL/LH > HG/GF, de donde (FL+LH)/LH > (HG+GF)/GF, o, FH/LH > FH/GF, de donde GF > LH. Ya que GF=1/2(lado recto), se tiene que LH < 1/2(lado recto). Por lo tanto, la recta mínima trazada desde el punto B cortaría al eje en un punto más cercano al punto F que al punto L [Prop. V.8], y, la recta BL no puede ser una segunda recta mínima trazada desde el punto B [Prop. V.24].

Si se traza otra recta, tal como EIM Paso 9, digo también que IM no será una recta mínima.

En efecto, tracemos, por el punto B, la recta BO tangente a la sección Paso 10, y tracemos la perpendicular MN que prolongamos hasta el punto Q Paso 11. Entonces, CO=2HC [Prop. I.35], de modo que HO=2HC. Ahora bien, HG=2HC; por lo tanto HO=HG, de donde HG > ON. Por lo tanto HN/ON > HN/HG, de donde (HN+ON)/ON > (HN+HG)/HG, o, HO/ON > NG/HG Ya que HO/ON = BH/NQ, entonces BH/NQ > NG/HG, de donde BH·HG > NQ·NG, y por tanto BH·HG > MN·NG. Ya que EF/BH > HG/FH, entonces EF·FH > BH·HG, luego EF·FG > MN·NG, de donde EF/MN > NG/FG. Ya que, EF/MN = FI/IN, entonces FI/IN > NG/FG, de donde (FI+IN)/IN > (NG+FG)/FG, o, FN/IN > FN/FG, de donde FG > IN. Pero FG=1/2(lado recto), así que IN < 1/2(lado recto). Entonces la recta mínima trazada desde el punto M cortará al eje en un punto más cercano del punto F que el punto I [Prop. V.8], y, la recta MI no puede ser una recta mínima trazada desde el punto M [Prop. V.24].

Si ahora trazamos otra recta, tal como AJE Paso 12, digo que AJ no es una recta mínima.

En efecto, tracemos la perpendicular AR, y prolonguémosla hasta el punto P Paso 13. Entonces, ya que HO=HG, se tiene que HO > RG; de modo que RH/HO < RH/RG, de donde (RH+HO)/HO < (RH+RG)/RG, o, RO/HO > HG/RG. Ahora bien, RO/HO = RP/BH, por lo tanto RP/BH < HG/RG, de modo que RP·RG < BH·HG, de donde AR·RG < BH·HG. Ya que EF/BH > HG/FG, entonces EF·FG > BH·HG, de donde AR·RG < EF·FG, luego AR/EF < FG/RG. Ahora bien, AR/EF = RJ/JF, luego RJ/JF < FG/RG, de donde RJ/(RJ+JF) < FG/(FG+RG), o, RJ/FR < FG/FR, luego FG > RJ. Pero, FG=1/2(lado recto), por lo tanto RJ < 1/2(lado recto). Entonces la recta mínima trazada desde el punto A cortará al eje en un punto más cercano de F que el punto J [Prop. V.8], y la recta AJ no puede ser una recta mínima trazada desde el punto A [Prop. V.24]. En consecuencia, cuando la perpendicular EF es mayor que la recta K, no se podrá trazar desde el punto E a la sección ninguna recta sobre la que el eje corta una recta mínima.

Si la línea FE fuera igual a la línea K, digo que sólo podríamos trazar desde el punto E a la sección, una recta en la que un recta mínima puede ser cortada, y que las rectas mínimas, trazadas desde los extremos de las otras rectas trazadas desde el mismo punto E, están más alejadas del vértice C.

En efecto, ya que HG/GF=K/BH, y como K=EF entonces HG/GF=EF/BH. Ya que FL/LH=EF/BH, entonces HG/GF=FL/LH, de donde (HG+GF)/GF = (FL+LH)/LH, o, HF/GF = HF/LH, de donde GF=LH. Ya que GF = 1/2(lado recto), luego LH = 1/2(lado recto). Se deduce que LB es una recta mínima [Prop. V.8].

Además, digo que no podemos trazar, por el punto E, otra recta sobre la que el eje corta una recta mínima.

En efecto, tracemos otra recta, tal como ME; sea, MN la perpendicular prolongamos hasta el punto Q; sea, BO la tangente a la sección, y se establecerá, como se ha expuesto anteriormente, que BH·HG = EF·FG, y BH·HG > MN·NG. Por lo tanto, razonando como antes, se demuestra que el FG = 1/2(lado recto) y FG > IN, y que la recta IM no es por lo tanto una recta mínima; pero que la recta mínima, trazada desde el punto M, caerá del lado del punto F. Del mismo modo, si se traza otra recta, tal como AJE, la la línea AJ no será mínima; pero la recta mínima, trazada desde el punto A, también caerá del lado del punto F. En efecto, si se traza la perpendicular AR, prolongada hasta el punto P, se demuestra, de la misma manera, que AR·RG < BH·HG, donde BH·HG = EF·FG; a partir de lo cual se establecerá, de la manera anteriormente indicada, que JR < GF, es decir, JR < 1/2(lado recto). Por lo tanto, AJ no será una recta mínima; pero la recta mínima trazada por el punto A caerá del lado del punto F.

Sea ahora la recta EF más pequeña que la recta K; digo que, se pueden trazar dos rectas desde el punto E hasta la sección ABC sobre las que el eje corta rectas mínimas; que si se trazan rectas mínimas desde los extremos de las rectas situadas en el intervalo de estas dos últimas rectas, cortarán segmentos del eje menores que los cortados por las rectas que parten del punto E; y digo que las otras rectas exteriores cortarán segmentos del eje mayores que los segmentos que serán cortados por las rectas mínimas trazadas desde los extremos de estas rectas al eje.

En efecto, se tiene que K/HB = HG/GF y como FE < K, entonces EF/HB < HG/GF; de modo que EF·GF < BH·HG. Tomemos TH < HB, de manera que EF·FG = TH·HG Paso 14. Sea DG una perpendicular sobre la recta FG Paso 15, y describamos por el punto T, bajo las asíntotas DG, GC, una hipérbola que encuentra a la parábola en los puntos A, M [Prop. II.4] Paso 16. Tracemos las rectas de unión EA, EM, y tracemos las perpendiculares AR, MN. Por lo tanto, ya que la sección ATM es una hipérbola, cuyas asíntotas son las rectas DG, GC, y que las rectas AR, MN, TH rectas han sido trazadas perpendicularmente a esta sección, se deduce que MN·NG = TH·HG [Prop. II.12], luego MN·NG = EF·FG. Por consiguiente, MN/EF = FG/GN. Pero, MN/EF =NI/IF; por lo tanto, FG/GN = NI/IF, y, por tanto, FG/(FG+GN)=NI/(NI+IF), o, FG/FN = NI/FN. Por lo tanto, NI = FG, de donde, ya que GF=1/2(lado recto), entonces NI = 1/2(lado recto). Entonces MI es una recta mínima [Prop. V.8]. También se establecería que AJ es una recta mínima; por lo tanto, MI, AJ son dos rectas mínimas que se encuentran en el punto E. Además, si se traza desde el punto E a la sección, alguna otra recta en el intervalo de las rectas AE, EM, y desde el extremo de esa recta, se traza una recta mínima, caerá más cerca del vértice de la sección, mientras que, si se traza una recta fuera del intervalo de las rectas AE, EM, la recta caerá en un lado más alejado del vértice de la sección; todas las cosas serían demostradas como en [Prop. V.44].

Q. E. D.