Si, en uno de los cuadrantes de una elipse, trazamos dos rectas mínimas
una de las cuales pasa por el centro, y si se prolongan hasta su punto de encuentro,
no podremos trazar desde ese punto de encuentro en el mismo cuadrante de la sección,
otra recta sobre la que el eje corta una recta mínima. Además,
si, desde este punto, rectas cualesquiera parten hacia la sección,
entre una recta mínima y el vértice del eje mayor, las rectas mínimas, trazadas desde los extremos de estas rectas al eje,
cortarán segmentos del eje, terminando en el vértice, mayores que los segmentos del eje cortados por las rectas trazadas desde el punto.
Pero menores si las rectas fueron trazadas desde el otro lado, es decir, del lado del eje menor.
Sea ABC una elipse , de eje mayor DE , y centro F . Elevemos desde el centro, perpendicularmente al eje,
la recta FA que prolongamos hasta el punto de encuentro K con una recta mínima BK que también prolongamos ,
y tracemos otra recta, tal como KHC . Yo digo que HC no es
una recta mínima, y que la menor recta que se puede trazar desde el punto C a la recta DE cortará del eje una parte
mayor que la recta DH.
En efecto, si la recta CH fuera una recta mínima,
su prolongación cortaría a la recta mínima BG,
en el interior del ángulo DFK [Prop. V.40]. Ya que,
la recta CH se encuentra con la recta mínima sólo en el punto
K; entonces, HC no es una recta mínima. Por otro lado, es obvio que la recta mínima trazada desde el punto C
al eje AE cortará de este eje un segmento mayor que la recta DH, porque la recta mínima trazada
por el punto C se encontrará con la recta BG, también recta mínima, en el interior del ángulo GFK [Prop. V.40];
de lo cual está claro que interceptará un segmento del eje mayor que la recta DH.
Si se traza otra recta, tal como LMK , al otro lado de la recta mínima BG, será evidente
por la misma razón, que LM no es una recta mínima, y que la menor recta
que puede trazarse desde el punto L cortará una porción del eje menor que la
recta DM, porque se encontrará con la recta mínima BG en interior del ángulo
GFK.
Q. E. D.