La perpendicular en el extremo de una recta mínima es tangente
a la sección cónica.
Sea una sección cónica AB , y, en ésta, una recta mínima
CB ; digo que la recta trazada desde el punto B, perpendicular a la recta CB, es tangente a la sección.
En efecto, si es posible que esta
recta no sea tangente, que corte a la sección,
como lo hace la recta EBH . Tracemos
otra recta, como la recta BF , desde un
punto F tomado fuera de la sección, pero
entre la sección y la recta BH, y tracemos, desde el punto F, la recta CGF perpendicular
a la recta BF . Entonces, el ángulo ∠(CBF) será agudo, porque
el ángulo ∠(CFB) es recto; de modo que CF < CB, y, a fortiori, CG < CB; lo cual es absurdo, porque se ha supuesto
que CB es la recta mínima. Por consiguiente, la recta trazada por el punto B,
perpendicularmente a la recta BC, es tangencial a la sección.
Q. E. D.