La tangente a una sección cónica en el extremo de una recta mínima trazada desde un punto del eje, es perpendicular a la mínima.

Sea, en primer lugar, la parábola AB Paso 1 cuyo eje es la recta BC Paso 2. Digo que la recta tangente a la sección en el extremo de cualquier recta mínima, es perpendicular a esta recta mínima.

Si la recta mínima es parte del eje BC, la proposición es evidente; pero, si la recta mínima es otra recta, tal como AC Paso 3, tracemos, desde el punto A, la recta AD tangente a la sección AB Paso 4. Digo que el ángulo ∠(DAC) es recto Paso 5.

Abatamos la perpendicular AG Paso 6, entonces GC = 1/2(lado recto) [Prop. V.13]. Además, siendo la recta AD tangente a una parábola, si abatimoss desde el punto A, la perpendicular AG, entonces BD = BG [Prop. I.35]; de manera que GC / lado recto = BG / GD, de donde GC·GD = BG·lado recto. Como BG·lado recto = AG ² [Prop. V.11], entonces AG ² = GC·GD, de donde AG / GD = GC / AG, luego, observando que los ángulos en G son rectos, tenemos la semejanza de los triángulos CGA, AGD, por lo tanto: ∠(AGC) = ∠(ADG). Ya que, ∠(ADG) + ∠(GAD) = ángulo recto, entonces ∠(CAG) + ∠(GAD) = ∠(CAD) = ángulo recto.

Q. E. D.