Si se toma, sobre el eje de una hipérbola, un punto cuya distancia al vértice de la sección es mayor que la mitad del lado recto; si se divide la recta determinada por el punto dado y el centro de la sección en segmentos que estén entre ellos en la razón del eje transverso al lado recto, de manera que el segmento adyacente al centro sea el homólogo del diámetro transverso, y si, en el punto de división, se eleva, perpendicularmente al eje, una recta secante a la sección, la recta de unión, trazada desde el punto de corte al punto tomado sobre el eje, será la menor de todas las rectas que se pueden trazar desde este último punto a la sección; mientras que entre las otras rectas, situadas a ambos lados de esta recta, la más cercana será más pequeña que la más alejada. Además, el exceso del cuadrado de una recta trazada cualquiera, al cuadrado de la recta mínima será equivalente al rectángulo que, construido sobre la recta interceptada entre las rectas trazadas perpendicularmente, a partir de las rectas anteriores, es semejante al rectángulo delimitado por el diámetro transverso y la suma del diámetro transverso y el lado derecho, de modo que el diámetro transversal sea el homólogo de la recta interceptada

Sea ABC una hipérbola Paso 1 cuyo eje es la recta DC Paso 2, y cuyo centro es el punto G Paso 3. Sea CE una recta mayor que la mitad del lado recto Paso 4, y tomemos un punto F situado entre los puntos C y E tal que GF/FE = diámetro transverso/lado recto Paso 5. Desde el punto F tracemos una perpendicular al eje Paso 6, y tracemos la recta de unión HE Paso 7. Digo que la recta HE es la menor de las rectas trazadas desde el punto E a la sección, y que la más cercana, de una y otra parte, es menor que la más alejada y que la diferencia entre el cuadrado de cada una de estas rectas y el cuadrado de la recta mínima equivale al rectángulo construido sobre la recta entre los pies de sus perpendiculares, rectángulo semejante al rectángulo determinado por el diámetro transverso y una recta igual a suma del diámetro transverso y del lado recto, de tal manera el diámetro transverso sea el homólogo de la recta interceptada entre las dos perpendiculares.

Tomemos CI=1/2(lado recto) Paso 8; tracemos la recta de unión GI Paso 9 y prolonguémosla hasta el punto U, supongamos que la recta GU corta en el punto X a la prolongación de la recta FH trazada perpendicularmente Paso 10, y tracemos la recta de unión EX que prolongamos a uno y otro lado Paso 11. Tracemos, además, perpendiculares LN, KQ Paso 12, y tantas como se desee, hasta su encuentro con las rectas GU y EX Paso 13. Entonces, ya que GC=1/2(diámetro transverso), y CI=1/2(lado recto), se tiene que GC/CI = diámetro transverso/lado recto. Como, GF/FE=diámetro transverso/lado recto, entonces GC/CI = GF/FE. Ya que, por semejanza de triángulos, GC/CI= GF/FX, entonces FX=FE. Como, FH² = 2⏢(CIFX) [Prop. V.1], y FE² = FE·FX = 2△(EFX); luego, FH²+FE²= 2⏢(CIFX)+△(EFX), o HE²=2⏢(CIEX). Paralelamente, KQ² = 2⏢(CIQO). Como, el triángulo QEJ es semejante al triángulo isósceles FEX, se tiene EQ=QJ, de donde EQ²=EQ·QJ=2△(EQJ)= 2(⏢(EQOX)+ △(OXJ)); luego KQ²+EQ²=2(⏢(CIQO)+⏢(EQOX)+△(OXJ)), o EK²=2(⏢(CIEX)+△(OXJ)). Como, HE² = 2⏢(CIEX); entonces, EK² - EH²=2 (⏢(CIEX)+△(OXJ)- ⏢(CIEX))=2△(OXJ). Tracemos las rectas OR, XP, JS paralelas al eje CD Paso 14. Los triángulos semejantes XPO, GCI dan XP/PO = GC/CI = diámetro transverso/lado recto, de donde, ya que el triángulo JPX es semejante al triángulo isósceles XFE, se tiene JP = XP, luego JP/PO = diámetro transverso/lado, de donde, JP/(JP+PO) = JP/JO = diámetro transverso/(diámetro transverso+lado recto)= GC/(GC+CI), de donde, ya que JP = XP = JS, entonces JS/JO = GC/(GC+CI), de donde por semejanza de rectángulos, JS/JO = GC(GC+CI). Como, ▭(ROJS) =JS·JO=2△(OXJ), entonces EK² - EH²=JS·JO=FQ·JO, de donde JO = JS((GC+CI)/GC)=FQ((GC+CI)/GC), luego EK² - EH² = FQ²((GC+CI)/GC).

Análogamente se demuestra que EL² - EH²=FN²((GC+CI)/GC).

Además se tiene CE=CT, de donde CE²= CE·CT=2△(CET), mientras que, EH²=2⏢(CIEX); de manera que CE² - EH²=2 (△(CET) - ⏢(CIEX)) = 2△(IXT)=CF·IT. Como, por semejanza de rectángulos, CF/IT = GC/(GC+CI), entonces IT=CF((GC+CI)/GC). En consecuencia CE² - EH²= CF²((GC+CI)/GC).

Por tanto, se tiene CE² - CF²((GC+CI)/GC)=EL² - FN²((GC+CI)/GC)= EK² - FQ²((GC+CI)/GC)=EH². Pero FQ < FN < FC; de manera que EH < EK < EL < CE. Entonces EH es la recta mínima que se puede trazar desde el punto E a la sección entre el punto H y el vértice de la sección.

Por otra parte BE² = 2⏢(CEIZ) [Prop. V.1]. Como, EH²= 2⏢(CIEX); luego BE² - EH²=2(⏢(CEIZ) - ⏢(CIEX)) = 2△(EXZ) = FE·EZ. Por otra parte, como, por semejanza de rectángulos, FE/EZ = GC/(GC+CI), de donde EZ=FE((GC+CI)/GC); luego BE² - EH²= FE²((GC+CI)/GC).

Paralelamente, MV² = 2⏢(TlVW). Como EV = VY, entonces EV² = EV·VY = 2△(EVY). Por tanto EV² + MV² = ME² = 2(△(EVY)+⏢(CIVY)) = 2(△(EVY)+⏢(VEXY)+⏢(CEIX)) = 2(△(YXW)+⏢(CEIX)) de donde, ya que EH² = 2⏢(CEIX), entonces ME² - EH² = 2△(YXW) = FV·YW. Por otra parte, por semejanza de rectángulos, FV/YW = GC/(GC+CI), de donde YW = FV((GC+CI)/GC), luego ME² - EH² = FV²((GC+CI)/GC).

De manera análoga obtendríamos EA²-EH²=FD²((GC+CI)/GC).

Por tanto, se tiene BE² - FE²((GC+CI)/GC) = ME²- FV²((GC+CI)/GC) = EA² - FD²((GC+CI)/GC) = EH². Como, EF < FV < FD; luego HE < BE < ME < EA.

Entonces, la recta HE es la menor de todas las rectas trazadas desde el punto E a la sección, y la más cercana, por uno y otro lado, a la recta HE es menor que la más alejada. Además, la diferencia entre el cuadrado de estas rectas y el cuadrado de HE equivale al rectángulo que, construido sobre la recta interceptada entre las rectas perpendiculares que es semejante al rectángulo que hemos designado arriba.

Q. E. D.