El ángulo de una recta mínima de la hipérbola y el eje es menor
que el de la perpendicular en el extremo de
este y una asíntota.
Sea AB una hipérbola , de eje CD , y de asíntotas FC, CG .
Sea AD una recta mínima , y elevemos, desde el punto B, la recta FBG
perpendicular al eje . Digo que ∠(ADC) < ∠(CFG) .
Tracemos la recta perpendicular AE al eje CD , y tomemos BH =1/2(lado derecho) , el punto H
cayendo ya sea en el punto G, entre los puntos B, G o más allá de estos
puntos, y tracemos la recta de unión AC .
Como CB=1/2(eje tranverso), entonces, CB/BH = eje transverso/lado derecho.
Ya que, CE/ED = eje transverso/lado derecho [Prop. V.14], entonces CB/BH = CE/ED.
Pero, por semejanza de triángulos, KB/BC = AE/EC,
de modo que, KB/BH = AE/ED.
Ya que, KB < FB, entonces KB/BH < FB/BH, luego AE/ED < FB/BH.
Como, FB2=BC·BH [Prop. II.3], entonces FB/BH = CB/FB,
luego AE/ED < CB/FB.
Ya que, los ángulos ∠(AED), ∠(FBC) son rectos, entonces es claro que ∠(ADC) < ∠(CFB).
Q. E. D.