Si desde un punto del eje de una parábola situado a una distancia del vértice mayor que la mitad del lado recto, se toma del lado del vértice un segmento igual a la mitad del lado recto y se levanta en su extremo la perpendicular al eje hasta que encuentre a la sección, la recta que une su punto de intersección con el tomado en el eje, es la menor de todas las que se pueden trazar desde dicho punto a la sección; las demás van creciendo a medida que se alejan de esta y la diferencia entre los cuadrados de una de esas rectas y la mínima es equivalente al del segmento comprendido entre los pies de las rectas perpendiculares y el punto fijado en el eje.

Sea ABC una parábola Paso 1 cuyo eje es la recta CD Paso 2. Tomemos, sobre este eje, una recta CE mayor que la mitad del lado recto Paso 3. Tracemos la recta FG perpendicular a la recta CE Paso 4, y tracemos la recta de unión EG Paso 5. Digo que la recta EG es la menor de las rectas trazadas desde el punto E a la sección, mientras que, entre las otras rectas trazadas a otros puntos de la sección, tales como A, B, C, los más cercanos, a uno y otro lado de la recta EG, serán menores de los más alejados. Además, si, desde el punto E, trazamos a la sección las rectas EK, EL, EA Paso 6, digo que la diferencia entre el cuadrado de cada una de estas rectas y el cuadrado de la recta EG equivale al cuadrado de la recta delimitada por el pie de la recta perpendicular y el punto F.

Tracemos las rectas perpendiculares ΚQ, LΜ, HO, y ΑD Paso 7; sea la recta BE perpendicular al eje Paso 8, y pongamos una recta CN igual a la mitad del lado recto Paso 9. Entonces, ya que EF = CN, tenemos 2CN·CQ = 2EF·CQ = KQ² [Prop. I.11]. Como, 2EF·FQ + EF² + FQ² = (EF + FQ)² = EQ², luego sumando estas dos identidades miembro a miembro, 2EF·CQ + 2EF·FQ + EF² + FQ² = KQ² + EQ², o, 2EF(CQ+FQ) + EF² + FQ² = 2EF·CF + EF² + FQ² = KE². Pero, 2CN·CF = 2EF·CF = FG² [prop 1.11]; luego FG² + EF² + FQ² = KE², de donde, ya que FG² + EF² = EG², se tiene EG² + FQ² = KE², luego KE²-EG² = FQ². Análogamente se demostraría que EL²-EG² = FM². Por otra parte, ya que 2EF CF = FG², entonces 2 EF CF + EF² + CF² = FG² + EF² + CF², o, (EF + CF)² = EG² + CF², así, CE² - EG² = CF². Se tiene, KE² - FQ² = EL² - FM² = CE² - CF² = EG². Como FQ < FM < FE, entonces KE> EL > FE; de manera que EG es la menor recta que se puede trazar desde el punto E a la sección entre los puntos G y C. Paralelamente, BE² = 2CN·CE = 2EF·CE = 2EF(CF + EF) = 2EF·CF + 2EF², de donde, ya que FG² = 2CN·CF = 2EF·CF, entonces BE² = FG² + EF² + EF² = EG² + EF², de donde, BE² - EG² = EF². Además, OH² = 2CN·CO = 2FE·CO. Como OE² = (OF - FE)² = OF² + FE² - 2FE·OF; luego OH² + OE² = 2FE·CO + OF² - 2FE·OF = 2FE(CO - OF) + OF² + FE², de donde, ya que FG² = 2FE·CF, entonces HE² = FG² + FE² + OF² = EG² + OF², de donde HE² - EG² = OF². Por las mismas razones, AE² - EG² = DF². Se tiene AE² - DF² = HE² - OF² = BE² - EF² =EG². Como DF > OF > EF, entonces AE > HE > BE > EG. Luego EG es la recta mínima que se puede trazar desde el punto E a la sección entre los puntos G y A, mientras que la recta más cercana es menor que la más alejada; y la diferencia entre el cuadrado de una cualquiera de estas rectas y el cuadrado de la recta mínima equivale al cuadrado de la recta delimitada por el pie de la recta perpendicular y el punto F.

Q. E. D.