Dado cualquier punto del interior de la periferia de una sección cónica, y no situado en el eje, se puede trazar de este punto una recta mínima.
Supongamos que la sección sea primero una parábola como AB , de eje BG , y tomemos un punto C en el interior de la periferia de la sección ; digo que es posible trazar una recta mínima por el punto C.
Desde el punto C, tracemos la recta CD perpendicular al eje , y supongamos que DE =1/2(lado recto) .
Levantemos, por el punto E, la recta EH perpendicularmente a la recta BG , y describamos, por el punto C, bajo las asíntotas HE, EG, la hipérbola AC,
que cortará así a la parábola [Prop. IV.2] . Supongamos que se encuentre con ella en el
punto A, y prolonguemos la recta de unión hasta los puntos G,H . Digo que la recta AG es mínima.
Tracemos la perpendicular AF . Entonces, se tiene que CG = HA [Prop. II.8], por lo tanto, por semejanza de triángulos, DG=EF, por lo tanto DG+DF=
EF+DF, o FG=ED. Ahora, ya que ED = 1/2(lado recto), se tiene que FG = 1/2(lado recto).
Por lo tanto, AG es una recta mínima [Prop. V.8].
Q. E. D.