Si
en las condiciones anteriormente establecidas se toma un
punto en una recta mínima trazada desde el eje de una cónica y se trazan
por él rectas a este de un mismo lado, la menor es la parte de la mínima
adyacente a la cónica y las más próximas a esta parte serán menores
que las más lejanas.
Sea AB cualquier sección cónica cuyo eje es la recta
CB ; sea CA una recta mínima trazada a la sección , y tomemos, en
esta recta, un punto D situado entre los puntos C, A . Digo que la recta DA es la menor
de las que se pueden trazar desde el punto A a este
lado de la sección.
En efecto, tracemos las rectas DE, DF, DB y las rectas de
unión FC, CE , así como las rectas de unión AE, EF, FB .
Entonces EC > CA; en consecuencia,
∠(CAE) > ∠(CEA) [Euclides:Prop. I.19].
Como, ∠(CEA) > ∠(DEA) [Euclides:Prop. I.18]; entonces
∠(CAE) > ∠(DEA), y ED > DA.
Del mismo modo, ya que FC > CE, ∠(FEC) > ∠(CFE);
de manera que ∠(DEF) > ∠(EFD); por lo tanto, FD > DE.
Se demuestra de la misma manera que DB > DF. En consecuencia, la recta AD es
la menor de las rectas trazadas a esta parte de la sección, y la
recta más cercana a esta última es menor que la más alejada. También estableceríamos lo mismo para
las rectas trazadas a la otra parte de la sección; cosas que habría que
demostrar.
Q. E. D.