Si se toma un punto en la prolongación, hacia el exterior, de
una recta máxima o mínima, la parte de esta recta comprendida entre el
punto y la cónica es la menor de todas las que parten de dicho punto a
uno u otro lado de la curva siempre que no se consideren prolongadas,
y, por tanto, que solo corten a la cónica en un punto, y las más próximas
a la mínima serán menores que las más alejadas.
Sea AB una sección cónica , y BC una de las rectas máximas
o mínimas que prolongamos . Tomemos, en esta recta prolongada,
un punto cualquiera D , desde el cual trazamos, a la sección, las rectas
DA, DG, DE que cortan respectivamente a la sección en un
solo punto . Digo que la recta BD es la menor de las rectas que podemos trazar
desde el punto D a la sección, y que
la más cercana a ella es menor que la más alejada.
En efecto, si se traza la recta BF tangente a
la sección en el punto B , el ángulo ∠(FBD) será recto [Prop. V.27, Prop. V.28, Prop. V.30];
de manera que DE > DB. Tracemos las rectas de unión GB, GE ; por lo tanto, el ángulo
∠(DEG) será obtuso.
Ya que, el ángulo ∠(DGF)
es agudo; luego, DG > DE. Razonando de la misma manera,
se demuestra que DA > DG.
También, podemos demostrar lo mismo para las rectas que
se dirigen al otro lado de la recta BD.
Q. E. D.