Si se toma, fuera de una semielipse cortada en dos partes iguales por el eje mayor, un punto desde donde la perpendicular abatida no cae en el centro, podremos trazar desde este punto una recta que corta al otro semieje mayor, sobre el que no cae la perpendicular, y cuya parte interceptada entre la sección y el eje mayor es una recta mínima; y no será posible trazar desde este punto una otra recta, que se encuentra con la otra mitad del mismo eje, sobre la que sea cortada una recta mínima.

Sea una elipse ABC Paso 1 con eje mayor AC Paso 2 y centro D Paso 3. Sea dado un punto E Paso 4, desde el cual la recta EF perpendicular al eje AC Paso 5, y que el centro no se encuentra en el punto F. Digo que podemos trazar desde el punto E una recta que corte a la recta DC, de modo que se intercepte una recta mínima entre la sección ABC y el semieje DC. Asegurémonos de que EG/GF = diámetro transverso/lado recto Paso 6, y también que DH/HF = diámetro transverso/lado recto Paso 7.

Además, tracemos desde el punto G, la recta KL paralela a la recta AC Paso 8, y, por el punto H, la recta MHL paralela a la recta EF Paso 9. Finalmente, por el punto dado, describamos una hipérbola con las rectas ML, LK como asíntotas [Prop. II.4] Paso 10. Sea EN esta hipérbola que corta a la elipse en el punto N, y tracemos la recta de unión NQE Paso 11. Digo que NQ es una recta mínima.

Prolonguemos la recta EN hasta que se encuentre con cada una de las asíntotas ML, LK; que las corte en los puntos M, K Paso 12, y tracemos las perpendiculares NO, KP a la recta AC Paso 13. Entonces, ME = KN [Prop. II.8]; de modo que FH = PO. Tenemos, por propiedad de la hipérbola: ME=KN, por lo tanto, por semejanza de triángulos, y por paralelas iguales entre las paralelas: FH= PO. Ya que, EG/GF = diámetro transverso/lado recto y FQ/PQ = EF/PK, se tiene que (FQ+PQ)/PQ = (EF+PK)/PK, o, FP/PQ = EG/GF; luego FP/PQ = diámetro transverso/lado recto. Pero, DH/HF = diámetro transverso/lado recto, por lo tanto, FP/PQ = DH/HF, de donde, ya que HF=PO y DH=HF+DF=PO+DF, entonces FP/PQ = (PO+DF)/PO, de donde (FP-(PO+DF))/PQ=FP/PQ, o, DO/OQ=FP/PQ, de donde DO/OQ = diámetro transverso/lado recto; relación que, en presencia de la perpendicular NO y del centro D, caracteriza a NQ como recta mínima [Prop. V.10].

Q. E. D.