Si, desde un punto tomado en el eje menor de una elipse, trazamos un recta que forme un ángulo con este eje, y si esta recta es la mayor que uno puede trazar desde este punto a la sección, será perpendicular al eje menor cuando el punto es el centro de la sección. Por otro lado, si el punto no es el centro, el ángulo formado con el eje, en el lado del centro, será agudo, y si, desde el extremo de esta recta máxima, bajamos una perpendicular al eje, el segmento, comprendido entre el pie de esta perpendicular y el centro de la sección, será al segmento, comprendido entre el pie de la perpendicular y el punto tomado en el eje, como el diámetro transverso es al lado recto.

Sea ABC una elipse Paso 1 cuyo eje menor es la recta AC Paso 2. Sea BD una recta máxima, que pasa en primer lugar por el centro Paso 3; digo que esta recta DB es perpendicular a la recta AC.

En efecto, si no es así, sea DE la recta perpendicular Paso 4. Entonces, la recta DE será la mayor de las que se pueden trazar desde el punto D [Prop. V.11]; lo que contradice la hipótesis, pues hemos supuesto que DB es la recta máxima. Por tanto, la recta DB es perpendicular a la recta AC.

Ahora tracemos una recta máxima FG desde otro punto F Paso 5; digo que el ángulo ∠(CFG) es agudo, y que, si se abate la perpendicular GK desde el punto G sobre la recta AC Paso 6, KD/KF = eje tranverso/lado recto.

En efecto, la línea FC será mayor o menor que la mitad del lado recto, o de lo contrario será igual. Sin embargo, no es igual a él, de lo contrario sería máxima [Prop. V.16, Prop. V.17, Prop. V.18]; y no será superior a él porque en este caso, también sería máxima [Prop. V.19]. En consecuencia, FC < 1/2(lado recto). En consecuencia, si se toma un punto K de manera que KD/(KD+DF) = eje transverso/lado recto, se tiene entonces KD/DF= eje transverso/(lado recto - eje transverso), o KD/DF= 1/2(eje transverso)/(1/2(lado recto) - 1/2(eje transverso)). Ya que CF < 1/2(lado recto), o, DF+DC < 1/2(lado recto), entonces DF < 1/2(lado recto) - 1/2(eje transverso), luego KD < 1/2(eje transverso), o, KD < CD.

Sea DK el segmento tal que DK/FK = eje transverso/lado recto; digo que la perpendicular elevada sobre el eje, al punto K, pasa por el punto G.

En efecto, si no pasara por este punto, se presenta a la manera de la recta KH Paso 7, y la recta HF será máxima [Prop. V.20]. Pero, esto no puede ocurrir, pues la recta máxima es FE; por consiguiente, la perpendicular abatida desde el punto G pasa por el punto K, de tal manera que DK/KF = eje transverso/lado recto.

Q. E. D.