Si se toma, fuera de la semielipse dividida por el eje mayor, un punto desde el cual la perpendicular al eje cae sobre el centro, y si la razón de esta perpendicular, aumentada por la mitad del eje menor, a la mitad del eje menor es menor que la razón del diámetro transverso al lado recto, no puede salir de ese punto hacia uno u otro cuadrante de la elipse, más que una recta cuya parte interceptada entre el eje y la sección es una recta mínima; mientras que que una recta mínima no puede ser cortada por ninguna recta que sea trazada en el mismo lado de la elipse. Pero, si una recta trazada está más cerca del vértice de la sección que la recta mínima antes mencionada, la recta mínima trazada desde el extremo de esta recta estará más lejos del vértice, y, por el contrario, si la recta trazada está más lejos del vértice, la recta mínima trazada desde su extremo caerá más cerca del vértice.

Sea una semielipse BAC Paso 1 cuyo eje principal es la recta BC Paso 2. Tomemos, fuera de esta semielipse, un punto D Paso 3, desde el cual la perpendicular cae en el centro, tal como la recta DE, que cae en el centro E perpendicularmente al eje CB Paso 4, y que DA/AE < diámetro transverso/lado recto. Digo que sólo se puede trazar desde el punto D al mismo cuadrante de la sección, una única recta cuya parte interceptada entre la curva BAC y el eje BC es una recta mínima. Por otro lado, digo que para las otras rectas trazadas desde el punto D, si, desde de los extremos de las que están más cerca del vértice B, se trazan rectas mínimas, estas caerán más lejos del punto B; mientras que las rectas mínimas, trazadas desde los extremos de las rectas trazadas desde el punto A, y más alejadas del punto B, estarán más cerca del vértice que estas últimas.

En efecto, ya que DA/AE < diámetro transverso/lado recto, como se puede encontrar DG/GE > DA/AE de manera que DG/GE = diámetro transverso/lado recto Paso 5, y se tiene DG/DE = HG/LE Paso 6, de donde, DG/(DG-DE)= HG/(HG-LE), o, DG/GE = EK/KL, luego EK/KL = diámetro transverso/lado recto. Ya que, el punto E es el centro de la sección; entonces HL es una recta mínima [Prop. V.10]Paso 7. Ya que, esta recta mínima corta al eje menor en el punto D; de modo que si parte del punto D otra recta que no sea la DH, más alejada que ella del vértice B, la recta mínima que se trace desde su extremo estará más cerca del punto B que esta misma recta; mientras que si la recta está menos alejada del vértice B que la recta DH, la derecha mínima, trazada desde su extremo, cortará al eje mayor en un punto más alejado del vértice B [Prop. V.46].

Q. E. D.