Si
se toma, debajo del eje mayor de una elipse, un punto tal que se
pueden trazar, a la sección, tres rectas de manera que que los segmentos interceptados por el eje son
rectas mínimas; si dos de estas rectas se trazan en el mismo lado
del eje menor donde se encuentra el punto, y si la tercera se traza desde el otro
lado, esta tercera recta trazada desde el otro lado será mayor que
cualquier otra recta entre la mediana de las tres rectas precedentes y la parte superior de la sección más cercana al punto dado; y la
recta más cercana a esta recta será mayor
que la más alejada. Por otra parte, entre las otras rectas
interpuestas entre la mediana de las tres rectas y el vértice superior de la sección, la mayor de ellas
es la recta es la que llega a ese vértice de la sección que está en el lado en el que está el punto, y de estas rectas la más cercanas de
ella son mayores que las más alejadas, y la mayor de estas rectas y también de las otras rectas mencionadas
anteriormente, es de las tres rectas, la que se traza en el lado opuesto al lado en el que se encuentra el punto.
Sea ABC una elipse cuyo eje mayor es la recta AC , de centro el punto Q ,
y sea BQ la recta levantada en el centro de la sección , perpendicularmente al eje bajo el cual se encuentra el punto E .
Tracemos, desde este punto, tres rectas, tales como EG, EF, ED , tales que los segmentos interceptados por el eje son rectas mínimas;
dos de las cuales, por ejemplo, las rectas EF, ED, están en el mismo lado donde se encuentra el punto E, y la tercera
recta EG está en el lado opuesto.
Yo digo que la recta EG es la mayor recta que se puede trazar desde el punto E a la sección ABC,
y que entre las rectas trazadas entre los puntos D y A,
la más cercana a cada lado de la recta EG es mayor que la más alejada.
En efecto, ya que DL, FH son rectas mínimas, estableceremos, de
la forma en que lo hemos demostrado para la parábola [Prop. V.72], que
la recta EF es la mayor de las que se pueden trazar desde el punto E
al arco CD de la sección, y que la recta más cercana a
la recta EF es mayor que la más alejada. Además, ya que DL y GK son rectas mínimas, se demostrará, como
en la proposición anterior anterior, que la recta EG es mayor que
cualquier recta trazada desde el punto E hasta el arco AD.
También digo que la recta EG es mayor que la recta EF.
Tracemos desde los puntos F, G, E las perpendiculares FM, GN, EO .
Entonces, QM/MH = diámetro transverso/lado recto, y QN/NK = diámetro transverso/lado recto [Prop. V.15], luego
QM/MH = QN/NK. Ya que OM < QM, entonces OM/MH < QM/MH, de donde OM/MH < QN/NK, y como ON > QN, entonces OM/MH < ON/NK, así OH/MH = OM-MH/MH < ON - NK/NK = OK/NK.
Como, por semejanza de triángulos, OH/MH = EO/FM y OK/NK = EO/GN, se tiene que EO/FM < EO/GN, de donde FM > GN.
En consecuencia, que la recta trazada por el punto F, paralela
al eje AC estará más alejada del punto A que el punto G.
Sea la recta FRP esta paralela , y prolonguemos la perpendicular EO
hasta el punto X .
Por lo tanto, ya que FR = RP, entonces PX > XF. Como, la recta
EX, común a cada uno de los triángulos EXF, EXP, es perpendicular a la recta FP; entonces,
EP > EF.
Además, EG > EP ; por lo tanto, EG > EF.
Por consiguiente, la recta
EG es la mayor de las rectas que pueden trazar desde el punto E
a la sección ABC, y las rectas más cercanas o más alejadas de
esta recta se comportarán de la manera que hemos dicho en la
propoposición.
Q. E. D.