Si
se toma, sobre el eje de una parábola, un punto
cuya distancia al vértice de la sección es igual a la mitad del lado recto, y si, desde este punto se trazan secantes a la sección,
entonces la menor de estas rectas será la recta trazada desde este punto al vértice de la sección,
y las más cercanas a esta última serán más pequeñas que las más lejanas. Por otra parte,
el cuadrado de una cualquiera de estas rectas excederá al cuadrado
de esta recta mínima en el cuadrado de la recta comprendida entre el vértice y la perpendicular abatida en el extremo de esta recta cualquiera sobre el eje.
Sea CE el eje de la parábola , y sea CF igual a la mitad del lado recto ,
y tracemos, desde el punto F, rectas
FG, FH, FB, FA a la sección ABC .
Digo que la recta CF, trazada desde el punto F al vértice de la sección, es menor que cualquier recta trazada a la sección, y que las rectas más cercanas a esta última son menores que
las más alejadas; finalmente, que el cuadrado de cada una de ellas equivale al cuadrado de la recta
CF, más el cuadrado de la recta comprendida entre el punto C y el pie de la perpendicular
abatida sobre el eje.
Tracemos las perpendiculares GK, HL, AE .
Tomemos la recta CM igual a la mitad del lado recto ;
entonces CF=CM, y
2(CM·CK) = KG2
[Prop. I.11].
Pero, 2(CM·CK) = 2(FC·CK); por consiguiente
KG2 = 2(CF·CK), y
2(CF·CK) + KF2 = FK2 + KG2.
Pero FK2 + KG2 = FG2, es decir,
2(FC·CK) + FK2 = FG2.
Así FG2 excede a FC2 en CK2.
Entonces, es claro que
HF > FG y FG > FC.
Por tanto la recta FC es la menor, y que las rectas más cercanas a esta última
son menores que la más lejanas.
Es evidente también que el excedente del cuadrado de una cualquiera de estas rectas sobre el cuadrado de la recta mínima equivale al cuadrado de la recta comprendida entre la perpendicular
abatida desde el extremo de esta recta cualquiera sobre el eje y el vértice de la sección.
GK2=2CM·CK, de donde,
ya que CF=CM por construcción: GK2=2CF·CK. Entonces, podemos escribir:
GK2+KF2=GF2=2CF·FK+KF2=2CF·CK+(CF - CK)2=CF2 +
CK2, de donde GF2-CK2=CF2. Análogamente: FH2 -CL2=CF2, y AF2 - CE2= CF2; mientras que la ordenada BF da: BF2=
2CM·CF = 2CF2, de donde: BF2- CF2=CF2; de donde
AF>BF>HF>GF>CF.
Q. E. D.