Sea la recta AC el eje menor de una elipse con AC = 1/2(lado recto) Paso 1, y sea el punto O el centro de la elipse Paso 2. Digo que la recta AC es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto A a la sección; que la más cercana es mayor que la más alejada, y que la diferencia entre su cuadrado y el cuadrado de una de las otras es equivalente al rectángulo construido sobre el segmento comprendido entre el pie de la perpendicular y el vértice C, semejante al rectángulo que tiene por lados el eje menor y y la diferencia entre lado recto y este eje.

Razonando como en la proposición anterior Paso 3, se tiene AC²-AE² = CH²((2CD-AC)/AC) y AC²-AL² = CG²((2CD-AC)/AC).

Además, BF² = 2⏢(AFXK)=2(△(KOA)-△(XOF))=2(△(COD)-△(XOF)) [Prop. V.3]. Por otra parte, se tiene FA=FQ, de donde FA²=FA·FQ= 2△(AFQ), y AC²=2△(ACD); luego AC²-(BF²+FA²)= 2(△(ACD)-△(COD)+△(XOF)-△(AFQ)), o AC²-AB²=2△(DXQ)=CF·QX. Se demuestra, como en las proposiciones precedentes, que CF/QX= eje menor/(lado recto-eje menor)=AC/(2CD-AC), de donde la semejanza del rectángulo de lados CF, QX y el rectángulo de lados AC, 2CD-AC rectángulos y QX=CF((2CD-AC)/AC), de donde AC²-AB²=CF²((2CD-AC)/AC). Por lo tanto, AC > AE > AL > AB. En consecuencia, la recta AC es la mayor de las rectas trazadas desde el punto A; la más cercana a esta es mayor que la más alejada, y la diferencia entre el cuadrado de la recta AC y el cuadrado de una de las otras rectas trazadas es equivalente al rectángulo que, construido sobre el segmento comprendido entre el pie de la perpendicular y el vértice C, es semejante al rectángulo que tiene por lados el eje menor y la diferencia entre lado recto y este eje.

Q. E. D.