Si desde un punto del eje mayor. de una elipse se traza una recta
mínima, será perpendicular al eje si pasa por el centro de la cónica, y
si no pasa formará con el eje mayor un ángulo obtuso del lado del
centro; el pie de la ordenada de la mínima caerá entre el punto desde el
cual se trazó esta y el vértice de la elipse, y la razón de los segmentos
entre el pie y el centro y el pie y el punto del eje es la misma que. la del
eje menor al lado recto.
Sea ABC una elipse cuyo eje mayor es la recta AC , y cuyo
centro es el punto I . Primero tracemos, desde el punto I a la sección, la
recta mínima IB . Digo que la recta IB es perpendicular a la recta
AC.
En efecto, si no fuera así, sea ID la recta
perpendicular a la recta AC .
Por lo tanto, la recta ID sería, en contra
de la hipótesis, la recta mínima que se puede trazar desde el
punto [Prop. V.11]; porque asumimos que
la recta IB es esta recta mínima.
En consecuencia, la recta IB es
perpendicular a la recta AC.
Ahora tomemos, en el eje,
otro punto tal como G , y sea GF la
recta mínima desde este punto G .
Digo que (FGI) es obtuso , y que,
si abatimos una perpendicular a la recta AC desde el punto F, la recta
interceptada entre el pie de esta perpendicular
y el punto I será a la recta interceptada entre el pie de esta misma perpendicular
y el punto G como el lado transverso es al
lado recto.
En efecto, dado que CG es la recta mínima desde el punto G,
GC > 1/2(lado derecho) [Prop. V.7], mientras que CI = 1/2(lado transverso); por lo tanto
IC/GC < lado transverso/lado recto.
Ahora dividamos la recta GC en un punto
K, de modo que IK/KG = lado transverso/lado recto ; digo que la recta perpendicular en
el punto K se encontrará con la sección en el punto F .
En efecto, si no es así,
supongamos que esta perpendicular es la recta KL . Entonces, la recta GL
sería la menor de las rectas que se pueden trazar desde el punto G [Prop. V.10];
lo cual es absurdo, ya que GF es esta recta mínima.
Por lo tanto, la perpendicular eleveda desde el punto K se encuentra con la sección en el
punto F, y el ángulo comprendido por las recta IG, GF es obtuso. Además,
si abatimos desde el punto F la recta perpendicular FK al eje AC,
IK /KG = lado transverso/lado recto.
Q. E. D.