Ahora, si la sección propuesta ABC Paso 1 es una hipérbola, o una elipse, con la recta ECD como eje, y el punto D como centro Paso 2, y si la recta FE es perpendicular al eje Paso 3, de tal manera que que la recta EC es mayor que la mitad del lado recto, digo que las cosas que ocurrieron en la parábola seguirán todas lo mismo en estas secciones.

Ya que DC=1/2(diámetro transverso), y CE > 1/2(lado recto), entonces DC/CE < diámetro transverso/lado recto. Sea G un punto sobre CE tal que DG/GE = diámetro transverso/lado recto Paso 4. Sean H y K dos puntos sobre CG tales que DG/DH=DH/DK=DK/DC Paso 5. Al punto K se asocia el punto B de la curva tal que KB es una recta perpendicular al eje DC Paso 6; y se define una recta de referencia L tal que L/KB=DE/EG·GK/KD Paso 7.

Supongamos primero que EF > L; digo que es imposible trazar desde el punto F a la sección, una recta sobre la que el eje separa una recta mínima; pero que las rectas mínimas trazadas a la sección desde los extremos de cualquier recta trazada desde el punto F, cortarán segmentos del eje, terminando en el vértice de la sección, más grandes que los segmentos cortados por la rectas trazadas desde el punto F.

En efecto, tracemos la recta de unión FMB Paso 8; digo que la recta BM no es una recta mínima. Sea N sobre FE tal que FN/NE = diámetro transverso/lado recto Paso 9. Tracemos las rectas FS'O, NSQ paralelas al eje ECD Paso 10 así como las rectas GSS', DO paralelas a la recta EF Paso 11. Se tiene que EF > L, luego EF/KB > L/KB. Ya que EN = KG', entonces EF/KB = EF/EN·KG'/KB, y como L/KB=DE/EG·GK/KD, entonces EF/EN·KG'/KB > DE/EG·GK/KD. Como FN/NE = diámetro transverso/lado recto=DG/GE; se tiene que KG'/KB > GK/KD, por tanto KG'·KD > KB·GK. Añadamos (en el caso de la elipse) o restemos (en el caso de la hipérbola) KG'·G'S, de donde KG'·KD + KG'·G'S > KB·GK + KG'·G'S, o (KD + GK)GS > (KB + KG')G'S, o, DG·GS > BG'·G'S. Como FN/EN=DG/EG, entonces FN·EG = DG·EN, o, FN·NS = DG·GS; luego BG'·G'S < FN·NS. Si BM fuese una recta mínima se tendría BG'·G'S = FN·NS [Prop. V.45], luego BM no es una recta mínima; pero, la recta mínima, trazada desde el punto B, cortará una porción del eje, adyacente al vértice, mayor que la recta CM.

Si ahora trazamos otra recta, como la FYX Paso 12, más allá del punto B, también digo que XY no es una recta mínima; pero que la recta mínima, trazada desde el punto X, cortará un segmento del eje, que termina en el vértice de la sección, más grande que la línea FY. Tracemos la recta BQ, tangente a la sección en el punto B Paso 13, y tracemos, perpendicularmente al eje, la recta XP que prolongamos hasta el punto R Paso 14. Por lo tanto, ya que KG'/KB > GK/KD, asegurémonos de que TK/KB = GK/KD Paso 15, y tracemos, desde el punto T, la recta Q'TT' paralela al eje ECD Paso 16. Ya que, como la recta BN'Q'Q es tangente a la sección y la recta línea BK es perpendicular al eje DN'K, KD·DN' = DC² [Prop. I.37], de donde KD/DC=DC/DN'. Por otra parte, DK, DH son medias proporcionales a las rectas DG, DC, esto es, KD/DC=DH/DK=DG/DH, de donde KD/DC=DG/DH, luego DG/DH=DC/DN', de donde DG/DH·DH/DK = DC/DN'·KD/DC, o, DG/DK = KD/DN', de donde (GD-DK)/(DK-DN')=DG/DK, o, GK/KN'=DG/DK. Como TK/KB = GK/DK, se tiene que (TK+KB)/KB = (GK+DK)/DK, o, TB/KB = GD/DK, de donde GK/KN'=TB/KB. Ya que TB/KB = TQ'/TN'; luego GK/KN' = TQ'/KN', de donde GK=TQ', luego TT'=TQ'. Entonces Q'B' < TT', de donde TB'/Q'B' > TB'/TT', luego (TB'+Q'B')/Q'B' > (TB'+TT')/TT', o, TQ'/Q'B' > B'T'/TT'. Ya que TQ'/Q'B' = BT/RB', se tiene que BT/RB' > B'T'/TT', de donde BT·TT' > RB'·B'T', luego BT·TT' > XB'·B'T'. Pero TK/KB = GK/DK da también GK·KB = KD·TK, de donde GK·KB + TK·GK = KD·TK + TK·GK , luego, (KB+TK)GK = (KD+GK)TK, o, BT·GK = DG·TK, de donde BT·TT' = DG·GT', luego DG·GT' > XB'·B'T', de donde, en el caso de la hipérbola, DG·GT' + B'C'·C'S> XB'·B'T'+ B'C'·C'S= (XB'+B'C')C'S = XC'·C'S, y, de donde, en el caso de la elipse, DG·GT' - B'C'·C'S> XB'·B'T'- B'C'·C'S= (XB'-B'C')C'S = XC'·C'S, luego, en los dos casos, XC'·C'S < DG·GT'; así XC'·C'S < DG·GS. Ya que FN/NE = DG/GE=diámetro transverso/lado recto, se tiene que DG·NE = GE·FN, o, DG·GS = SN·FN; luego, XC'·C'S < SN·FN, lo que es imposible, pues XC'·C'S = SN·FN [Prop. V.45], por lo tanto, XY no es una recta mínima, y la recta mínima, trazada desde el punto X, cortará, sobre el eje, una porción terminada en el vértice, mayor que la recta CY.

Si trazamos otra recta, tal como FE'A Paso 17, digo que AE' no es una recta mínima, y que la recta mínima, trazada por el punto A, corta una porción del eje mayor que la recta CE'.

En efecto, tracemos la perpendicular AH', y extendámosla hasta el punto D' Paso 18. Ya que hemos demostrado que TT' = TQ', entonces T'C' < TQ', de donde TC'/T'C' > TC'/TQ', luego (TC'+T'C')/T'C' > (TC'+TQ')/T'Q', o, TT'/T'C' > C'Q'/T'Q'. Ya que C'Q'/T'Q' = D'C'/BT, entonces TT'/T'C' > D'C'/BT, de donde BT·TT' > D'C'·T'C'. Entonces, usando el mismo razonamiento de antes, se puede demostrar que AH'·H'S < SN·NF, y por lo tanto se establecerá que AE' no es una recta mínima, pero que la recta mínima, trazada desde el punto A, cortará una porción del eje más grande que la recta CE'.

Supongamos ahora que FE = L; digo que la única recta que se puede trazar desde el punto F sobre la que el eje separa una recta mínima es FB y la recta mínima es BM, y que las rectas mínimas, partiendo desde los extremos de todas las otras rectas que se tracen desde este mismo punto, cortarán sobre el eje porciones más grandes que las cortados por las rectas así trazadas.

Vamos a trazar la recta BK de la manera que hemos descrito anteriormente, es decir, después de haber determinado el punto G tal que DG/GE = diámetro transverso/lado recto, y el punto K tal que DG/DH=DH/DK=DK/DC, y tracemos la recta de unión FB. Se tiene que FE=L, luego FE/BK=L/BK. Ya que FE/BK= FE/EN·EN/BK = FE/EN·KG'/BK, y L/BK = DE/EG·GK/KD, se tiene que FE/EN·KG'/BK = DE/EG·GK/KD. Ya que FN/EN=DG/EG=diámetro transverso/lado recto, entonces (FN+EN)/EN=(DG+EG)/EG, o, FE/EN=DE/EG; luego KG'/BK = GK/KD. Además, según se trate de la hipérbola o la elipse, KG'·KD±KG'·GK = BK·GK±KG'·GK,o, (KD±GK)KG'=(BK±KG')GK, luego DG·GS = BG'·G'S. Ya que FN/EN = DG/EG, se tiene que FN·EG = DG·EN, o, FN·NS = DG·GS, luego FN·NS = BG'·G'S; por lo tanto, BM es una recta mínima [Prop. V.45].

Digo, además, que no se puede trazar, desde el punto F, otra recta sobre la que el eje corta una recta mínima.

En efecto, si trazamos una recta tal como FYX, y si trazamos la perpendicular XP se establecerá, de la manera expuesta anteriormente, que G'S = G'Q. Pero, QC' < G'S, luego C'G'/QC' > C'G'/G'S, y, (C'G'+QC')/QC' > (C'G'+G'S)/G'S, o, G'Q/QC' > C'S/SG'. Ya que, G'Q/QC' = BG'/RC', se tiene que BG'/RC' > C'S/SG'; de manera que BG'·G'S > RC'·C'S, y, por tanto, BG'·G'S > XC'·C'S. Ya que, se ha demostrado que BG'·G'S = SN·NF; por lo tanto, XC'·C'S < SN·NF. Pero XC'·C'S = SN·NF; por lo tanto, XY no es una recta mínima, y la recta mínima, trazada desde el punto X, cortará sobre el eje un segmento adyacente al vértice de la sección más grande que la recta CY. El mismo razonamiento mostraría que AE' no es un recta mínima; pero que la recta mínima, trazada desde el punto A, corta sobre el eje una porción más grande que la recta CE'.

Supongamos, finalmente, que FE < L; digo que sólo se pueden trazar desde el punto F dos rectas sobre las que el eje separe dos rectas mínimas, y que las rectas mínimas, trazadas desde puntos de la sección situados entre las dos rectas anteriores, cortarán porciones del eje más pequeñas que las cortadas por las rectas trazadas desde el punto F; mientras que las rectas mínimas, trazadas desde los extremos de otras rectas trazadas desde el punto F, en el exterior de las dos rectas anteriores, cortarán segmentos del eje adyacentes al vértice más grandes que las cortadas, sobre este eje, por las rectas así trazadas.

En efecto, se tiene FE/BK < L/BK y razonando como antes se deduce KG'/KB < GK/KD y SN·NF < BG'·G'S. Sea I sobre BG' tal que G'I·G'S = SN·NF. La hipérbola que pasa por I y admite como asíntotas las rectas QS, SG corta a la sección en los puntos A,X [Prop. V.42]. Tracemos las rectas AH', XC' perpendiculares a la recta SQ. Se tiene AH'·H'S = SN·NF y XC'·C'S=SN·NF, luego AE', XY son dos rectas mínimas cuyas prolongaciones se cortan en el punto F. Según [Prop. V.45] no hay otras. Ya que, se ha demostrado que si es así, y que si se traza otra recta desde el punto F, uno se podrá cortar una recta mínima. En efecto, si una recta parte del punto F, entre las rectas AE', XY, y que si se traza desde su extremo al eje, una recta mínima, esta cortará una porción del eje terminando en el vértice, más pequeño que el segmento cortado por la recta trazada por el punto F; mientras que lo contrario será cierto para las rectas que, partiendo de los extremos de otras rectas trazadas, cortará porciones de eje más grandes. Las cosas que acabamos de decir, para el eje de una elipse, deben entenderse que se trata del eje mayor.

Q. E. D.