Cuatro rectas mínimas trazadas en la misma semielipse, y cortadas por el eje mayor,
no se encuentran en el mismo punto.
Sea una elipse ABCD cuyo eje mayor es la recta AD ; digo
que si se trazan del eje AD a la sección
ABCD, cuatro rectas mínimas, no
no se encontrarán en el mismo punto.
En efecto, vamos a trazar, si es posible, las rectas mínimas
KC, LE, MF, HB que se encuentran
en el mismo punto G . Una de
estas rectas será perpendicular al eje AD,
o ninguna de ellas será perpendicular.
Supongamos que una de estas rectas BH sea, en primer lugar, perpendicular al eje. Entonces,
ya que BH es una recta mínima, y que
también es perpendicular al eje AD, el punto
H será el centro de la sección [Prop. V.15]. Supongamos que la
recta mínima KC corte a esta última
en el punto G, y tracemos otra recta.
EG; por lo tanto, la parte EL de esta recta no será una recta mínima [Prop. V.46].
Como, hemos supuesto que es una recta mínima; esto es absurdo.
Supongamos ahora que ninguna de las rectas BH, KC, LE, MF es perpendicular
al eje AD, que el centro N se encuentra entre las líneas rectas BH, CK. Entonces,
se tratará de trazar, en el mismo semieje de la sección, tres rectas que se
encuentran en el mismo punto. Pero, está claro que esto no puede hacerse [Prop. V.45].
Por otra parte, si el centro N está situado entre las rectas KC, LE, levantemos la recta NJ perpendicular al eje
AD, y el punto de encuentro de las rectas EL, FM se ubicará dentro
del ángulo DNJ [Prop. V.40]. Asimismo, se establecería que
las rectas BH, CK se encontrarán dentro del ángulo ANJ. Pero, todas estas rectas deben encontrarse
en el punto G; lo cual es absurdo. Como resultado, las cuatro rectas
mínimas trazadas a la sección no se encuentran en el mismo punto.
Q. E. D.