Si, en una hipérbola, o en una elipse, se levanta en el vértice principal de la sección, perpendicularmente al eje, una recta igual a la mitad del lado recto; si, desde el extremo de esta última recta se traza una recta al centro de la sección, y si, desde un punto cualquiera de la sección, se traza una recta de manera ordenada al eje, el cuadrado de esta última recta será equivalente al doble del cuadrilátero delimitado por la rectas así trazadas y la mitad del lado recto.

Sea AB una hipérbola o una elipse Paso 1, cuyo eje es la recta BC Paso 2, y cuyo centro es el punto D Paso 3. Sea BE el lado recto de la sección Paso 4, y BG la mitad de la recta BE Paso 5. Tracemos la recta de unión DG Paso 6 y tracemos de manera ordenada una recta AF Paso 7, la cual será paralela a la recta BE, y prolonguémosla hasta el punto H Paso 8. Digo que AF² = 2⏢(BFHG).

Tracemos, desde el punto E, la recta EC Paso 9, que será`paralela a la recta DG, porque las rectas CB y BE han sido bisecadas en los puntos D y G respectivamente y prolonguemos la recta FH hasta el punto K Paso 10. Entonces la recta HK será paralela y HK = GE. Pero GE = BG, luego BG = HK. Añadamos a una y otra parte la recta FH. Entonces FK = HK + FH = BG + FH; de manera que FK·BF = (BG + FH)BF. Como KF·BF = AF² [Prop. I.12 ó Prop. I.13], entonces (BG + FH)BF = AF². Como ((BG + FH)/2) BF = ⏢(BFHG), entonces AF² = 2⏢(BFHG).

Q. E. D.