Si el eje transverso de una hipérbola no es mayor que el lado recto correspondiente, no se puede trazar desde el eje ninguna recta mínima que corte al otro lado de la curva; y si es mayor, unas rectas mínimas, prolongadas, cortarán al otro lado de la curva y otras no.

Sea una hipérbola ABC Paso 1 cuyo eje es la línea DE Paso 2, y cuyo centro es el punto D. Supongamos que AE es una recta mínima Paso 3, y que el diámetro no es mayor que el lado recto; digo que la recta AE prolongada no cortará a la sección.

Sean DF, DG las dos asíntotas Paso 4, sea la recta FBG perpendicular a la recta DE Paso 5, y tomemos BH=1/2(lado recto) Paso 6. Entonces, BF² = diam.transv. · lado recto = DB·BH [Prop. II.3], de donde BF/BH = DB/BF, de donde BF/BH · DB/BF = DB²/BF², o DB/BH = DB²/BF². Como, por hipótesis, DB ≤ BH, entonces DB² ≤ BF², de donde, DB ≤ BF, por lo tanto ∠(BFD) ≤ ∠(FDB) Paso 7. Pero, ∠(BFD) > ∠(AEB) Paso 8 [Prop. V.37]; por lo tanto, ∠(FDB) > ∠(AEB), de la cual, observando que: ∠(FDB) = ∠(BDG) Paso 9, tenemos: ∠(BDG) > ∠(AEB). Ahora, ∠(AEB)+(π -∠(AEB))=π; por lo tanto ∠(BDG) + (π -∠(AEB))>π. En consecuencia la recta AE, prolongada en dirección al punto E, y la asíntota DG prolongada en la dirección del punto G, no se cortarán. Además, la recta AE no cortará al arco BC de la hipérbola [Prop. II.8].

Q. E. D.