Si se toma en el eje menor de una elipse un punto a una distancia del vértice igual a la mitad del lado recto correspondiente al eje menor, el segmento determinado en este medirá la mayor distancia del punto a la sección; la menor será la parte restante del eje; de todas las demás rectas, la más próxima a la máxima será mayor que la más lejana y la diferencia entre los cuadrados de la máxima y de una de las otras será equivalente al rectángulo construido sobre el segmento comprendido entre el pie de la perpendicular a la recta y el vértice del eje menor, semejante al que tiene por lados el eje menor y la diferencia entre este y el lado recto.

En efecto, tracemos rectas DF, DE, DB, DG Paso 1, y sea la recta DB perpendicular a la recta AC. Hagamos CQ = 1/2(lado recto) Paso 2, y tracemos las rectas de unión QP, QD y prolonguémoslas Paso 3. Además, tracemos las perpendiculares FH, EK, GL Paso 4, a las que trazamos la paralela AX Paso 5, y tracemos las rectas MI, TJ paralelas al eje AC Paso 6.

Entonces, ya que CD = CQ, CD²=CD·CQ = 2△(CDQ), y, ya que HD= HM, se tiene HD²=HD·HM=2△(HDM). Como, HF²=2⏢(CQHT) [Prop. V.1]; por consiguiente, CD² - HD² - HF²=2(△(CDQ) - △(HDM) -⏢(CQHT)), o, CD² - DF²=2△(TMQ)= ▭(TMIJ)=TJ·TM=CH·TM. Por otra parte, CP=(1/2)AC, y CD=CQ=1/2(lado recto); luego, CP/CD = diámetro transverso/lado recto, de donde, CP/(CD-CP)=diámetro transverso/(lado recto-diámetro transverso), o, CP/PD = AC/(2CQ-AC). También, CP/CQ = TJ/JQ, de donde, CP/(CQ-CP)=TJ/(JQ-TJ), de donde, ya que CD=CQ y IQ=IM=TJ, entonces CP/(CD-CP)=TJ/(JQ-IQ), o, CP/PD = TJ/IJ= TJ/TM, luego TJ/TM=diámetro transverso/(lado recto-diámetro transverso)=AC/(2CQ-AC), de donde, el rectángulo de lados TJ y TM es semejante al rectángulo de lados AC y 2CQ-AC, y además TM=TJ((2CQ-AC)/AC)=CH((2CQ-AC)/AC), luego CD² - DF²=CH²((2CQ-AC)/AC).

Con el mismo razonamiento se demuestra que CD² - DE²=CK²((2CQ-AC)/AC).

Además, BD² = 2⏢(ADSX)=2(△(APX)-△(DPS))=2(△(CPQ)-△(DPS)) [Prop. V.3], y se tiene CD²=CD·CQ=2△(DCQ), de donde CD² - BD²=2(△(DCQ) - △(CPQ)+△(DPS))=2△(DSQ)=CD·SD. Como, CP/PD= AC/(2CQ-AC), y CQ/SD=CP/PD, de donde CQ/SD=AC/(2CQ-AC), el rectángulo de lados CQ y SD es semejante al rectángulo de lados AC y 2CQ-AC, y además SD=CQ((2CQ-AC)/AC)=CD((2CQ-AC)/AC), luego CD² - BD²=CD²((2CQ-AC)/AC).

Luego CD²=CH²((2CQ-AC)/AC) + DF²=CK²((2CQ-AC)/AC) +DE²=CD²((2CQ-AC)/AC) +DB². Como, CH < CK < CD, entonces CD > DF > DE > DB.

Además, LG²=2⏢(ALYX)=2(△(APX) - △(LPY))=2 [△(CQP) -△(LPY)) [Prop. V.3]. Como, LD = LO, entonces LD²=LDxLO= 2△(DOL), y CD²=2△(DCQ). Por tanto CD² - LG² - LD²=CD² - DG²= 2(△(DCQ) - △(CQP) + △(LPY) - △(DYL))=2△(QYO) = CL·YO. Como, TJ/CL = TQ/QY = TM/YO; entonces TJ/TM= CL/YO. Como, TJ/TM = AC/(2CQ-AC), entonces CL/YO = AC/(2CQ-AC), de donde el rectángulo de lados CL y YO es semejante al rectángulo de lados AC y 2CQ-AC, y además YO=CL((2CQ-AC)/AC), luego CD² - DG²=CL²((2CQ-AC)/AC).

Finalmente, como DA=AR, entonces DA²=DA·AR=2△(DAR), y DC² = 2△(DCQ)=2(△(CPQ)+△(PQD))=2(△(PXA)+△(PQD)); luego DC² - DA²=2(△(PXA)+△(PQD) -△(DAR)) = 2 △(QXR)= AC·RX. Como, se demuestra de forma análoga, AC/RX= AC/(2CQ-AC), el rectángulo de lados AC, RX es semejante al rectángulo de lados AC, (2CQ -AC) y además RX=AC((2CQ-AC)/AC), de donde DC² - DA²=AC²((2CQ-AC)/AC).

Luego CD²=CL²((2CQ-AC)/AC) + DG²=AC²((2CQ-AC)/AC) +DA². Como, CL < AC, entonces DC > DG > DA.

Entonces, la recta DC es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto D a la sección, y la recta AD es la menor de ellas.

Por otro lado, entre las otras rectas, la más cercana a la recta CD es más grande que la más alejada, y la diferencia entre el cuadrado de la recta CD y el cuadrado de una cualquiera otra recta trazada es equivalente al rectángulo que, construido sobre la recta interceptada entre el pie de la recta perpendicular y el vértice C, es semejante al rectángulo que dijimos.

Q. E. D.