Finalmente, si la recta AC es el eje menor de una elipse Paso 1 cuyo centro es el punto N Paso 2, y si ponemos CD = 1/2(lado recto) Paso 3, digo que la recta CD es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto D a la sección, mientras que la recta DA es la menor de ellas; que, entre las rectas que cortan a la sección, las más cercana a recta línea CD es mayor que la más alejada; que, entre las rectas que cortan a la sección externamente, la más cercana a la recta AD es menor que la más alejada de ella, finalmente, que la diferencia entre cuadrado de la recta CD y el cuadrado de cualquier otra recta trazada equivale al rectángulo que, construido sobre el segmento determinado por el punto C y el pie de la perpendicular es semejante al rectángulo que se discutió anteriormente, es decir, el rectángulo de lados el eje menor y la diferencia entre el lado derecho y este mismo eje.

Tracemos las rectas DF, DE, DB Paso 4, y que las otras construcciones sean las mismas que en la figura anterior Paso 5. Se tiene pues, razonando como en [Prop. V.16 y Prop. V.17], CD²-FD² = CL²((2CM-AC)/AC), CD²-ED² = CH²((2CM-AC)/AC) y CD²-BD² = CX²((2CM-AC)/AC).

Ya que CD=CM, entonces CD² = CD·CM = 2△(DCM)=2(△(MCN)+△(NMD)) = 2(△(ANQ)+△(NMD)). Por otra parte, AD = AR, de donde AD² = AD·AR = 2△(ADR). Entonces CD² - AD² = 2(△(ANQ)+△(NMD) - △(ADR)) = 2 △(QMR) = AC·RQ. Como, se ha visto en las proposiciones anteriores, AC/RQ = AC/(2CM-AC), de donde el rectángulo de lados AC, RQ es semejante al rectángulo de lados AC, 2CM-AC, luego RQ = AC((2CM-AC)/AC), de donde, CD² - AD² = AC²((2CM-AC)/AC).

Entonces, CD² = FD² + CL²((2CM-AC)/AC) = ED² + CH²((2CM-AC)/AC) = AD² + AC² ((2CM-AC)/AC). Como, CL < CH < CX < AC, entonces CD > FD > ED > BD > AD.

Finalmente, PI²=2⏢(QOPA) [Prop. V.3], y, como DP=PK, entonces DP²=DP·PK = 2△(DPK). Luego PI²+DP² =ID² = 2(⏢(QOPA)+△(DPK)). Como, CD²=2△(CDM)=2(△(MCN)+△(NMD))=2(△(ANQ)+△(NMD)), entonces CD²+ID²=2(△(ANQ)+△(NMD)-⏢(QOPA) -△(DPK))=2△(OMK)=CP·KO. Como, se demuestra de foma análoga a la anterior, CP/KO = AC/(2CM-AC), de donde el rectángulo de lados CP, KO es semejante al rectángulo de lados AC, 2CM-AC, y KO = CP((2CM-AC)/AC), de donde CD²-ID²=CP²((2CM-AC)/AC).

Razonando de manera análoga, se tiene que CD² - DJ² = CT²((2CM-AC)/AC), y CD²-DS² = CG²((2CM-AC)/AC). Las relaciones anteriores dan, AC²((2CM-AC)/AC) + AD²=CP²((2CM-AC)/AC) +DI²=CT²((2CM-AC)/AC)+DJ²=CG²((2CM-AC)/AC)+DS². Como, AC > CP > CT > CG, entonces DA < DI < DJ < DS.

Entonces, la recta DC es la mayor de las que son trazadas por el punto D, mientras que la recta DA es la menor entre ellas. Además, entre las rectas que cortan interiormente a la sección, la más cercana a la recta DC es mayor que la más alejada, mientras que, entre las rectas que cortan a la sección externamente, las más cercanas a la recta DA son menores que las más alejadas. Finalmente, la diferencia entre el cuadrado de la recta CD y el cuadrado de cualquier otra recta es equivalente al rectángulo que, construido sobre el segmento comprendido entre el punto C y el pie de la perpendicular, es semejante al rectángulo que dijimos.

Q. E. D.